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allgemeine lösung dgl

Universität / Fachhochschule

07:59 Uhr, 27.01.2020

Hi leute ,

ich habe eine kurze Frage zur allgemeinen Lösungen einer DGL.
Ich habe die Wellengleichung mittels Separationsansatz auf zwei DGLs

X (x)

und

T (t)

herunter gebrochen.
Ich habe dazu die Separationskosntante

α

eingeführ
Jetzt habe ich zuerst

X (x)

betrachtet.

X (x)

wollte ich mittels exponentialansatz lösen. Ich bin zum schluss gekommen,dass falls

α > 0

oder

α = 0

ist,es nur triviale Lösungen gibt.
Das heißt,ich betrachte

α < 0

und deshalb bekomme ich zwei imaginäre Nullstellen und meine allgemeine Lösung ist:

X (x) = c_{1} \cos (\sqrt{β} x) + c_{2} \sin (\sqrt{β} x)

,dabei definiere ich

α = - β

Ich habe die beiden Randbedingungen

y (- π, t) = y (π, t) = 0

für meine Wellengleichung.
Betrachte ich

X (π) = c_{1} \cos (\sqrt{β} π) + c_{2} \sin (\sqrt{β} π) = 0

, erhalte ich zwei Fälle für nicht triviale Lösungen von

c_{1}

und

c_{2}

.

1.Fall

\sin (\sqrt{β} π) = 0

Das ist genau dann,wenn

\sqrt{β} π = k π \Leftrightarrow β = k^{2}

für alle

k \in ℕ

. Darausfolgt

c_{1} = 0

2.Fall

\cos (\sqrt{β} π) = 0

Das ist genau dann,wenn

\sqrt{β} π = \frac{2 k + 1}{2} π

\Leftrightarrow

β = {(\frac{2 k + 1}{2})}^{2}

für alle

k \in ℕ

. Darausfolgt

c_{2} = 0

Betrachtet man jetzt

β = \frac{1}{4}, 1, \frac{9}{4}, 2, \frac{25}{4}

erhält man die Lösungen

X_{1} (x) = \cos (\frac{1}{2} x)

X_{2} (x) = \sin (x)

X_{3} (x) = \cos (\frac{3}{2} x)

X_{4} (x) = \sin (2 x)

X_{5} (x) = \cos (\frac{5}{2} x)

Kann ich nun sagen,dass die allgemeine Lösungen von

X (x) = c_{1} \cos (\frac{2 k + 1}{2} x) + c_{2} \sin (k x)

für alle

k \in ℕ_{0}

ist??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

12:35 Uhr, 27.01.2020

Hallo
deine Lösung ist richtig, das kannst du auch sehen, da die Randbedingungen eine stehende Welle

z . B

auf einer Saite der Länge

2 π

darstellen.
Gruß ledum

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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