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allgemeine lösung dgl

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Separationsansatz, Wellengleichung

 
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djanselo

djanselo aktiv_icon

07:59 Uhr, 27.01.2020

Antworten
Hi leute ,

ich habe eine kurze Frage zur allgemeinen Lösungen einer DGL.
Ich habe die Wellengleichung mittels Separationsansatz auf zwei DGLs X(x) und T(t) herunter gebrochen.
Ich habe dazu die Separationskosntante α eingeführ
Jetzt habe ich zuerst X(x) betrachtet.X(x) wollte ich mittels exponentialansatz lösen. Ich bin zum schluss gekommen,dass falls α>0 oder α=0 ist,es nur triviale Lösungen gibt.
Das heißt,ich betrachte α<0 und deshalb bekomme ich zwei imaginäre Nullstellen und meine allgemeine Lösung ist:
X(x)=c1cos(βx)+c2sin(βx),dabei definiere ich α=-β
Ich habe die beiden Randbedingungen y(-π,t)=y(π,t)=0 für meine Wellengleichung.
Betrachte ich X(π)=c1cos(βπ)+c2sin(βπ)=0 , erhalte ich zwei Fälle für nicht triviale Lösungen von c1 und c2.

1.Fall sin(βπ)=0

Das ist genau dann,wenn βπ=kπβ=k2 für alle k . Darausfolgt c1=0
2.Fall cos(βπ)=0
Das ist genau dann,wenn βπ=2k+12π\Leftrightarrow β=(2k+12)2 für alle k . Darausfolgt c2=0

Betrachtet man jetzt β=14,1,94,2,254

erhält man die Lösungen

X1(x)=cos(12x)
X2(x)=sin(x)
X3(x)=cos(32x)
X4(x)=sin(2x)
X5(x)=cos(52x)
Kann ich nun sagen,dass die allgemeine Lösungen von

X(x)=c1cos(2k+12x)+c2sin(kx) für alle k0 ist??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

12:35 Uhr, 27.01.2020

Antworten
Hallo
deine Lösung ist richtig, das kannst du auch sehen, da die Randbedingungen eine stehende Welle z.B auf einer Saite der Länge 2π darstellen.
Gruß ledum
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.