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alternativer Lösungsweg: verminderter Grundwert

Lehrer

Tags: Lösungsweg unklar, Prozentrechn, verminderter Grundwert

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21:37 Uhr, 21.03.2022

Ahoi & Moinmoin!

Ich habe ein etwas ungewöhnliches Anliegen: Ich bin Mathelehrer an einer Berufsschule im Norden Hamburgs. Mathe habe ich (leider) nie studiert, ich bin also Quereinsteiger (eigentlich bin ich Biologe, ist auch "nur" ein Zweitjob) aber es macht mir Spaß und ich arbeite dran immer besser zu werden. Bis jetzt hat es für die Berufsschule locker gereicht.
Ich habe vor kurzen eine Klausur zum Prozentrechnen schreiben lassen. Die Schüler müssen nicht immer genau so rechnen wie ich das im Unterricht besprochen habe, so lange der Rechenweg sinnvoll und nachvollziehbar erscheint. Jetzt hat es aber ein Schüler geschafft mich völlig aus dem Konzept zu kriegen mit seinem Lösungsweg.

Hier erstmal die Aufgabe:
Ein nicht näher bezeichnetes monopolverdächtiges und steuerhinterziehendes Versandhaus hat den Preis für ein Handy um

5 %

gesenkt, es kostet jetzt nur noch €551,00. Wie viel hat es vorher gekostet?

Mein vorgeschlagener Lösungsweg:

V :

Verminderter Gundwert

G :

Grundwert

p :

Prozentsatz

Die Formel für den verminderten Grundwert die wir im Unterricht erarbeitet haben ist (siehe erläuternde Skizze unten):

V = G - W = G - G \cdot p = G \cdot (1 - p)

Durch Umstellen erhält man

G = \frac{V}{1 - p}

Durch Einsetzen erhält man

G = \frac{551}{0} . 95 = 580

So weit so gut; man kann es auch mit dem Dreisatz lösen, ist ja die gleiche Rechnung:

551 \Leftrightarrow 95 % | : 95

5,8 \Leftrightarrow 1 % | \cdot 100

580 \Leftrightarrow 100 %

################Mein Schüler hat aber folgenden Rechenweg gewählt:

551 : 19 = 29

551 + 29 = 580

Und das verstehe ich von der Logik her nicht.

29

ist ja der Prozentwert

G \cdot p

den ich vom Grundwert abziehe, schon richtig. Aber wie kommt die Zahl

19

zustande? Also man KÖNNTE so argumentieren:

Um einen allgemein gültige Lösungsweg zu erhalten ersetze ich mal die

19

durch

x

und rechne das rückwärts:

\frac{V}{x} = G \cdot p

V

ersetzen durch

G \cdot (1 - p)

\frac{G \cdot (1 - p)}{x} = G \cdot p |

auflösen nach

x

x = \frac{1 - p}{p}

wenn ich für

p = 0.05

einsetze lande ich bei

19

.

Aber wie ist mein Schüler auf die idee gekommen

V

durch

\frac{1 - p}{p}

zu teilen?
Er selber konnte mir das leider nicht beantworten, er hat es vergessen. Zusätzliche Rechenzettel gab es nicht. Dass er geschummelt hat schließe ich zu

99 %

aus.
Wahrscheinlich habe ich mich so an die Standardlösung gewöhnt dass ich betriebsblind bin..... Aber vielleicht kann mir hier jemand die Denke hinter diesem Ansatz erklären.
Ich wäre sehr dankbar dafür.

Liebe Grüße,
Pavel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Prozentrechnen (Mathematischer Grundbegriff)

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01:21 Uhr, 22.03.2022

Hallo,

deine Formel habe ich auch so. Letztendlich kann man aus jeder Lösungsformel durch Umformung eine alternative Formel bilden.

Man hat die Ausgangsformel und setzt sie mit

v

und einem Restterm gleich.

\frac{v}{1 - p} = v + \dots

Der Restterm ist somit

\frac{v}{1 - p} - v = \frac{v \cdot p}{1 - p}

. Also ist

G = v + \frac{v \cdot p}{1 - p}

Dass diese Formel i-wie besser interpretierbar ist sehe ich jetzt nicht.

Gruß
pivot

N8eule

13:54 Uhr, 22.03.2022

Wenn ich in meinen Worten ansprechen darf...
Der naheliegendste Gedanke ist doch:
Der Schüler hat sich klar gemacht, dass

5 %

ein Zwanzigstel ist.
Er wird also gedanklich den Grundpreis in

20

Zwanzigstel geteilt haben.
Wenn der reduzierte Preis nun um

5 %, d . h

. um ein Zwanzigstel billiger ist, na ja, dann muss man eben noch

\frac{19}{20}

zahlen...
:-)

Cyberbrat aktiv_icon

21:12 Uhr, 22.03.2022

OK, jetzt habe ich es kapiert;

Bei der Idee dass

5 % = \frac{1}{20}

bzw.

95 % = \frac{19}{20}

war ich schon. Das ist ja nur eine Darstellung einer Zahl als Bruch.
Nach meiem Verständnis hätte er dann

G = \frac{V}{(\frac{19}{20})}

rechnen müssen.
Aber er hat ja nur

\frac{V}{19}

gerechnet um auf

G \cdot p

zu kommen. Was ist also mit der

20

passiert? :-)
Trotzdem ist der Groschen jetzt gefallen, Er hat einfach

V

auf

19

gleichgroße Teile geteilt die ja genauso groß sind wie

G \cdot p

(siehe Skizze unten).

Und damit hat er tatsächlich (ohne es zu wissen) die Formel angewendet auf die @pivot und ich gekommen sind.

G = V + (\frac{V}{1 - p}) \cdot p

Nur statt zu rechnen

G = 551 + (\frac{551}{0,95}) \cdot 0,05

hat er vorher noch von Prozent in "prozwanzigstel" umgerechnet

(s . ⊙);

daraus wird dann

G = 551 + (\frac{551}{\frac{19}{20}}) \cdot \frac{1}{20} = 551 + (\frac{551}{19}) \cdot 1

Das Irre ist ja dass er ohne auf "prozwanzigstel" umzuformen bereits

G

ausgerechnet hätte mit

\frac{551}{0,95},

nur um dann davon

5 %

zu berechnen die er dann wieder zum verminderten Grundwert addiert hat.

Wirklich intuitiv ist das nicht.

Vielen lieben Dank für die Denkanstösse, pivot und N8eule!
Aber naja, die Lösung hat zum Ziel geführt, er hat ja auch volle Punktzahl für die Aufgabe bekommen.

N8eule

13:23 Uhr, 23.03.2022

"Wirklich intuitiv ist das nicht."
Es ist zumindest so intuitiv, dass es ein Schüler geschafft hat, in einen Zweizeiler zu packen.
:-)

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17:03 Uhr, 23.03.2022

Es war so intuitiv, dass der Schüler es gleich wieder vergessen hat :-)
Was der Schüler sich dabei gedacht hat bleibt reine Spekulation. Ich würde bei so etwas nicht zu viel reininterpretieren-auch aus Zeitgründen.
Aber gut, jetzt hat der Schüler eure Interpretation. Mal sehen, ob er damit etwas anfangen kann.

Cyberbrat aktiv_icon

17:40 Uhr, 23.03.2022

Also wie auch immer, in der nächsten Klassenarbeit wird der Rabatt nicht

5 %

sondern eher

10,7 %

oder

10,33 %

o

.ä. betragen... :-))

Aber bei dem Ideenreichtum meiner Schüler:innen fürchte ich daß das dann jemand geometrisch löst

...

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