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alternierende Folge untersuchen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Friedberger aktiv_icon

20:18 Uhr, 31.05.2016

Hallo zusammen,

ich möchte die Folge

an

= {(- 1)}^{n} \frac{n + 1}{n - 1}

auf konvergenz, Divergenz, Beschränktheit untersuchen?

normal würde ich mit der vollständigen Induktion hierbei arbeiten..

kann mir jemand hier Tips geben wie es aussieht bzw wie man bei alternierenden Folgen vorgeht?

Vielen Dank schonmal für die Hilfe

Grüße
Friedberger

Respon

20:33 Uhr, 31.05.2016

Die Teilfolge

a_{2 \cdot n}

geht gegen 1
Die Teilfolge

a_{2 \cdot n + 1}

geht gegen

- 1

a_{2 \cdot n}

ist streng monoton fallen,

a_{2 \cdot n + 1}

ist streng monoton wachsend.

Respon

21:21 Uhr, 31.05.2016

Und ? Alles klar ?

Friedberger aktiv_icon

21:23 Uhr, 31.05.2016

ne gar nicht :-D)

in welchen zusammenhang stehen jetzt die Teilfolgen und wozu bildet man diese???

Respon

21:26 Uhr, 31.05.2016

Konvergenz liegt vor, wenn JEDE beliebige unendliche Teilfolge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert. Da aber die zwei gewählten Teilfolgen gegen

+ 1

bzw.

- 1

gehen, liegt Divergenz vor.

Friedberger aktiv_icon

21:30 Uhr, 31.05.2016

okay ich komme der Sache etwas näher..

wieso hast du aber jetzt grade diese beiden Teilfolgen gewählt.. das sind doch die geraden und die ungeraden Zahlen

Respon

21:33 Uhr, 31.05.2016

Weil das offensichtlich die einfachsten Teilfolgen sind.

a_{2 \cdot n}

ist wegen

{(- 1)}^{2 \cdot n}

stets positiv und geht gegen

+ 1

a_{2 \cdot n + 1}

ist wegen

{(- 1)}^{2 \cdot n + 1}

stets negativ und geht gegen

- 1

Friedberger aktiv_icon

21:35 Uhr, 31.05.2016

was haben die beiden Teilfolgen mit meiner Aufgabe

an

= {(- 1)}^{n} \frac{n + 1}{n - 1}

zu tun? das ist mir nicht ganz klar

Respon

21:38 Uhr, 31.05.2016

a_{2 \cdot n}

und

a_{2 \cdot n + 1}

sind unendliche Teilfolgen von

a_{n}

.
Da beide gegen unterschiedliche Zahlenwerte gehen, divergiert

a_{n}

Friedberger aktiv_icon

21:40 Uhr, 31.05.2016

ich komme der Sache etwas näher wenn ich durchgehen Zahlen in meine Folge eingebe:

so kommt für die

a 2 = 3; a 3 = - 2; a 4 = \frac{5}{3}; a 5 = - 1,5

raus

bedeutet das es sich jeweils an die

- 1

und die 1 annähert

Respon

21:41 Uhr, 31.05.2016

Ja, es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert

\to

Divergenz.

Friedberger aktiv_icon

21:42 Uhr, 31.05.2016

danke jetzt hab ich es kapiert :-D)

Respon

21:45 Uhr, 31.05.2016

Und da die eine Teilfolge monoton fallend ist, die andere monoton steigend, so lassen sich Supremum und Infimum ( kleinste obere Schranke und größte untere Schranke ) sofort bestimmen.

Friedberger aktiv_icon

21:46 Uhr, 31.05.2016

die wären dann

- 1

und

+ 1

Respon

21:56 Uhr, 31.05.2016

Nein.
Nachdem die Teilfolge

a_{2 \cdot n}

immer positiv ist und streng monoton fallend, so ist für

a_{2}

der größte Wert, nämlich 3
Nachdem die Teilfolge

a_{2 \cdot n + 1}

immer negativ ist und streng monoton wachsend, so ist für

a_{3}

der kleinste Wert, nämlich

- 2

Es gilt also

- 2 \leq a_{n} \leq 3

Die Folge ist nach oben und unten beschränkt ( wobei die Indizes erst ab 2 beginnen ).

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