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analytische funktion, analytisch fortsetzbar
Universität / Fachhochschule
Funktionentheorie
Tags: Funktionentheorie
 
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was bedeutet es, wenn man sagt eine funktion sei analytisch? was bedeutet es, wenn man sagt eine funktion sei analytisch fortsetzbar? irgendwie liest man da was von potenzreihen bei wiki... was ist der sinn und zweck einer solchen definition? wozu kategorisiert man also funktionen als analytisch? was ist so besonderes an den potenzreihen? vielen dank |
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Das besondere an analytischen Funktionen ist, dass sie differenzierbar und ihre Ableitungen wieder analytisch sind; dass sie bereits durch die Werte auf einem winzigen Intervall eindeutig festgelegt sind; dass im Komplexen bereits aus der dort naheliegenden Definition der Differenzierbarkeit (lokal linear approximierbar) bereits analytisch folgt; dass es eine einfache Integralformel gibt, mit der man aus den Funktionswerten auf einer Kreislinie den Funktionswert im Mittelpunkt (oder anderen Punkten) berechnen kann; dass analytische Abbildungen winkeltreu sind; dass jede auf ganz definiert analytisch Funktion entweder unbeschränkt oder konstant ist; . |
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hey hagman... vielleicht hast du schon mitbekommen, dass ich kein mathematiker bin. deshalb geht es mir erstmal um die grundaussagen. ist somit auch analytisch? wenn ich ein bruchteil vom grafen der funktion (zB. für ausschneide und jemand anderem in die hand druecke... so kann er analytisch fortsetzen und darauf schliessen, dass dieses Bruchstueck der funktion entstammt? und wenn ich dann sage, dass das bruchstueck nicht der funktion entstammt, sondern der funktion fuer fuer dann waere ja nicht analytisch, egal wieviel muehe ich mir gebe das zu gestalten? und die definition mit der potenzreihe garantiert mir, dass ein analytisches nur sein kann... auch fuer ?? |
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Das ist richtig. In diesem Sinne ist (im Reellen) "analytisch" auch erheblich stärker als "beliebig oft differenzierbar". Standardbeispiel hierzu: für für Diese Funktion ist bleibig oft stetig differenzierbar, aber an der Stelle nicht analytisch (dort existieren zwar alle Ableitungen und sind aber rechts von der 0 wird nicht durch die 0-Potenzreihe angenähert). Genau genommen muss man demnach bei der eindeutigen Fortsetzbarkeit aufpassen, dass man mit zusammenhängenden Definitionsbereichen arbeitet: Das obige ist auf analytisch, aber gewiss nicht die einzige Fortsetzung der Nullfunktion von nach |
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