Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » ansatz bei doppelter Lösung des charakt. Polynoms

ansatz bei doppelter Lösung des charakt. Polynoms

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Brotzeit aktiv_icon

21:17 Uhr, 16.04.2010

hallo,

ich habe eigentlich gleich zwei fragen.

wenn ich bei

y'' + a y' + b y = 0

das charakteristische polynom berechne, kann es passieren, dass

λ^{2} + a λ + b = 0

eine doppelte nullstelle besitzt. loesung ist dann

λ_{1} = λ_{2}

.

Ansatz zur loesung dieser DGL ist ja dann

C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} x e^{λ_{2} x}

woher kommt das

x

vor dem zweiten e? kann man das irgendwie anschaulich begruenden?

ansonsten habe ich im zusammenhang mit dem charakteristischen polýnom gehoert, dass das etwas mit dem charakteristischen polýnom zu tun hat, das auch bei der berechnung von eigenwerten verwendet wird. Wie kann man hier DGLs mit den eigenwerten einer matrix verknuepfen?

vielen dank im voraus

brotzeit

Brotzeit aktiv_icon

17:56 Uhr, 17.04.2010

vielleicht jemand ne idee zur ersten frage??? woher das

x

kommt vor dem e?

hagman aktiv_icon

18:20 Uhr, 17.04.2010

Mal ein kurzer Überblick:

Betrachte den Vektorraum

V

der glatten Funktionen.
Dann ist

D : V \to V, f \mapsto f'

ein Endomorphismus dieses Vektorraums.
Eine Exponentialfunktion

φ_{λ} : x \mapsto e^{λ x}

ist Eigenvektor von

D

zum Eigenwert

λ,

denn

D φ_{λ} = λ φ_{λ}

Wir haben ferner den (ebenfalls linearen) Operator

A : V \to V, f \mapsto f'' + a f' + b f, d . h

A = D^{2} + a D + b

Auf einem von einigen

φ_{λ}

aufgespannten Unterraum von

V

ist

D

einfach eine Diagonalmatrix mit Einträgen

λ

. A ist dann ebenfalls Diagonalmatrix mit Einträgen jeweils

λ^{2} + a λ + b

und der ja gesuchte Kern von A findet sich dann anhand derjednigen EInträge, für die

λ^{2} + a λ + b = 0

wird.

Bekanntlich lässt sich ja nicht jede Matrix diagonalisieren, das gilt auch für D.
Ist

P (x)

ein Polynom, so ist

D (P φ_{λ}) = (P' + λ P) φ_{λ}

. Die polynomiellen Vielfachen

x^{n} φ_{λ}

als Basis genommen und

D

dazu als Matrix geschrieben ergeben eine obere Dreiecksmatrix. Dies entspricht einem Jordanblock der Jordan-Normalform (am besten wählt man

\frac{1}{n!} x^{n} φ_{λ},

dann hat man auch schon die gewünschten Einsen neben der Diagonalen)
Wieder lässt sich

A = D^{2} + a D + b

bezüglich dieser Basis auch einfach beschreiben:
Auf der Diagonalen

λ^{2} + a λ + b,

daneben

2 λ + a,

daneben Einsen.
Ein nichttrivialer Kern kann sich auch in einem solchen Block nur ergeben, wenn ein (und damit alle) Diagonaleintrag

= 0

ist. Ist zufällig auch

2 λ + a = 0

(was genau im Falle einer doppelten Nullstelle eintritt!), so liefert auch die nächste Spalte einen Beitrag zum Kern.

Trotzdem erscheint möglicherweise die Wahl von

x φ_{λ}

auf den ersten Blick etwas unnatürlich.
Dann betrachte zum Zwecke der Heuristik einfach

e_{λ} - e_{μ}

mit

μ \approx λ

.
Es gilt dann

\frac{e^{λ x} - e^{μ x}}{λ - μ} \approx x e^{λ x}

(genauer

= x e^{θ x}

mit

θ

zwischen

λ

und

μ)

. Im Grenzfall

μ \to λ

sollten wir auf der linken Seite "in der Nähe" des Eigenraums zum Eigenwert

λ

landen, also auch rechts

Sina86

18:23 Uhr, 17.04.2010

Hi,

zur ersten Frage habe ich leider keine anschauliche Erklärung. Es funktioniert halt :-) Die Physiker haben da manchmal Interpretationen für, das sind dann irgendwelche kritischen Übergänge aber ich kenne mich da nicht genau aus.

Zur zweiten Frage:
Du bringst deine DGL in die explizite Form, d.h. du stellst nach der Ableitung höchster Ordnung um, also:

y ʺ = - a y ʹ - b y

Jetzt definierst du dir eine vektorwertige Funktion

\underline{y} := (\begin{array}{rcl} y \\ y ʹ \end{array})

Diese kann man differenzieren, das geschieht Komponentenweise, also:

\underline{y} ʹ := (\begin{array}{rcl} y ʹ \\ y ʺ \end{array})

Nun stellt man eine Matrixgleichung auf:

\underline{y} ʹ = (\begin{array}{rcl} 0 & 1 \\ - b & - a \end{array}) \underline{y}

Multipliziert man das aus, dann kommt man auf die DGLen (wenn man das ganze wieder komponentenweise betrachtet):
1.)

y ʹ = y ʹ

(dies ist eine triviale DGLen, da sie von jeder diff'baren Fkt. erfüllt wird)
2.)

y ʺ = - a y ʹ - b y

(dies ist die zu lösende DGL)

wir haben also eine DGL 2. Ordnung durch ein DGL-System 1. Ordnung ersetzt (dies funktioniert auch für eine lineare DGL beliebiger Ordnung, man ersetzt die DGL n-ter Ordnung dann einfach durch ein DGL-System mit einer

n \times n

-Matrix). Man nennt dieses Vorgehen Reduktion der Ordnung. Wenn man nun das charakteristische Polynom der Matrix ausrechnet, ergibt sich (bis auf ein Vorzeichen) die charakteristische Gleichung der DGL.

Lieben Gruß
Sina

Brotzeit aktiv_icon

18:32 Uhr, 17.04.2010

ratttter rattter rauch rauch qualm...

ich glaub ich brauch noch ne weile um das zu verdauen. meld mich dann wieder^^

danke schonmal

hagman aktiv_icon

00:52 Uhr, 18.04.2010

Bei Sinas Darstellung sieht man auch schön:
Ist

y

Eigenfunktion des Ableitung (sprich: von der Form

x \mapsto e^{λ x}

mit Eigenwert

λ),

so ist natürlich auch

(\begin{matrix} y' \\ y'' \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} y \\ y' \end{matrix}), d . h

solch ein

y

bzw. die zugehörige vektorwertige Funktion ist (sofern Lösung der DGL) ein

λ

-Eigenvektor der Matrix

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - b & - a \end{matrix})

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

748868

748532

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?