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arc sin, arc tan Gleichung auflösen

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Funktionen

Tags: Funktion

lip1337 aktiv_icon

15:11 Uhr, 10.01.2018

Hallo,

ich steh glaube ich richtig auf dem Schlauch gerade, ich möchte folgende funktion nach

x

auflösen.

arcsin

(\frac{1}{x}) =

arctan

(x)

Danke für eure Hilfe.

grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Respon

15:18 Uhr, 10.01.2018

Wende als ersten Schritt auf beiden Seiten

s i n

an.

Respon

15:23 Uhr, 10.01.2018

Und ? Schon gemacht ? Was hast du jetzt ?

lip1337 aktiv_icon

15:26 Uhr, 10.01.2018

\frac{1}{x} = sin (

arctan

(x))

sorry war gerade auf toilette, hat kurz gedauert :-P)

Respon

15:28 Uhr, 10.01.2018

Korrekt !
Und jetzt musst du nur noch

sin (a r c t a n (x))

bearbeiten.

sin (a r c t a n (x)) =

lip1337 aktiv_icon

15:33 Uhr, 10.01.2018

sin (

arctan

(x)) = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}

musste ich jetzt aber nachschauen... verdammt

das sollte ich eig wissen

; (

gibt wahrscheinlich für jede

sin, cos, tan

ich nenn´s mal "doppelfunktion" so ne umformung?

Respon

15:36 Uhr, 10.01.2018

Ja, es gibt viele solcher Identitäten. Und sie lassen sich bei Bedarf auch leicht ableiten.
Also

\frac{1}{x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow x = . .

lip1337 aktiv_icon

15:44 Uhr, 10.01.2018

ich multipliziere beide seiten mit

x

und mit wurzel(1+x^2)

dann hab ich wurzel(1+x^2)

= x^{2}

was ja

. .

1 + x = x^{2}

ist?

falscher ansatz?

Respon

15:46 Uhr, 10.01.2018

Habe die letze Zeile erst jetzt gesehen - nein, das ist nicht richtig.

lip1337 aktiv_icon

15:51 Uhr, 10.01.2018

gut dann war das auch falsch...

Respon

15:53 Uhr, 10.01.2018

\sqrt{1 + x^{2}} = x^{2}

| quadrieren

1 + x^{2} = x^{4}

x^{4} - x^{2} - 1 = 0

Diese biquadratische Gleichung hat zwei reelle und zwei komplexe Lösungen.

lip1337 aktiv_icon

15:54 Uhr, 10.01.2018

ok vielen Dank, aber die rechnung ist schon relativ kompliziert.

vorallem wenn man bednekt das man einen rehcungsindex ausrechnet, der eig ja nur ein Wert ist.

ich weiß jetzt natürlich nicht in wie weit du dich mit Totalreflexion und Brewsterwinkel auskennst.

aber wenn ich davon ausgehe, dass der kritische winkel und der brewster winkel gleich sein sollen und der brechungsindex von luft 1 ist komme ich eben auf die von mir gefragte Gleichung...

Respon

15:55 Uhr, 10.01.2018

Wobei ?
Wie man

x^{4} - x^{2} - 1 = 0

berechnet ?

Respon

15:59 Uhr, 10.01.2018

Das Ergebnis ist ein sehr einfacher Wert !

x^{4} - x^{2} - 1 = 0

{(x^{2})}^{2} - x^{2} - 1 = 0

pq - Formel anwenden

x_{1,2}^{2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2}

Da du vermutlich nur an den reellen Lösungen interessiert bist:

x^{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}

\Rightarrow

x_{1} = + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}

x_{2} = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}

Welche Lösung für deine Aufgabe infrage kommt, musst du entscheiden.

lip1337 aktiv_icon

16:01 Uhr, 10.01.2018

könntest du mir das bitte noch zeigen?

ledum aktiv_icon

22:24 Uhr, 11.01.2018

Hallo
von Anfang an:

sin (x) = \frac{1}{n}

cotan(x)=1/n

, x =

Winkel der Totalreflexion =Brewster Winkel ,

sin (x) = \frac{cos (x)}{sin (x)}

{sin}^{2} (x) = cos (x)

{sin}^{4} (x) = 1 - {sin}^{2} (x)

mit

sin (x) = \frac{1}{n} = y

y^{4} + x^{4} - 1 = 0 \Rightarrow y^{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, y = 0,786, n = 1,272

dann ist das keine lange Rechnung.
Gruß ledum

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