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arccos regeln?

Schüler Gewerblich-industrielle Berufsschule, 12. Klassenstufe

Tags: ArcCos, cos

Dome123 aktiv_icon

09:40 Uhr, 26.04.2017

Soweit ich Weiss, gibt die Arccos function aus einem Verhältnis welches

- 1 \geq x \geq 1

einen Winkel im Bogenmass aus. Damit wäre

cos (x) = y \to x =

arcos(y)
Meines wissens sollte dies soweit stimmen. Nun ist aber in Meinem Fall das verhältniss der Leistungsfaktor (Wirkleistung/Blindleistung) welcher mit

cos φ

bezeichnet wird. Ist es nun richtig, wenn man aus dem Leistungsfaktor den Winkel herausfinden will die Formel so schreibt?:
arcos(cos

φ) = φ

gibt es da einen grund, dass dies nicht stimmt.( der Quadrant ist gegeben)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Levis aktiv_icon

10:09 Uhr, 26.04.2017

arccos bzw. arcsin sind Umkehrfunktionen für die eingeschränkten

cos

bzw.

sin -

Funktionen,

d . h

. auf das Intervall

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

.

Also gilt arccos(cos(x))

= x

bzw. arcsin(sin(x))

= x

im Allgemeinen auch nur für dieses Intervall!

Rechnet man mit Grad, sollte es demzufolge gelten für das Intervall

[- 90,90]

D . h

. für größere bzw. kleinere x-Werte einfach in dieses Intervall verschieben.

lg

Roman-22

10:45 Uhr, 26.04.2017

>

Damit wäre
cos(x)=y→x= arcos(y)

Nein, diese Richtung stimmt nicht.

Es ist:

x = a r c c o s (y) \Rightarrow cos (x) = y

aber

cos (x) = y \Rightarrow x = {cos}^{- 1} (y) = \pm a r c c o s (y) + k \cdot 2 π

mit

k \in ℤ

.

Die Umkehrung

{cos}^{- 1}

der Kosinusfunktion ist also keineswegs eindeutig und stellt somit keine Funktion dar.
Deshalb definiert man mit

a r c c o s

eine eingeschränkte Funktion, wie Lewis oben angedeutet hat.
Das ist auch mit ein Grund dafür, dass man nicht

{cos}^{- 1}

schreiben darf, wenn man eigentlich

a r c c o s

meint, auch wenn das die Beschriftung auf den meisten Taschenrechnern bedauerlicherweise nahe legt.

a r c c o s (y)

liefert dir immer nur Werte

x

im Bereich

[0; π]

. Eine weitere Lösung für

{cos}^{- 1}

erhältst du entweder durch Ergänzung auf

2 π (x_{2} = 2 π - x)

oder einfacher durch Negation

(x_{2} = - x)

. Aller weiteren dann, indem du zu diesen beiden beliebig oft eine ganze Rundfahrt

2 π

addierst oder subtrahierst.

>

arcos(cos φ)=φ

>

gibt es da einen grund, dass dies nicht stimmt.
Ja, den gerade eben beschriebenen.

a r c o s (cos φ)

liefert dir jenen Wert aus

\pm φ + k \cdot 2 π,

der in

[0; π]

bzw.

[0; 180^{\circ}]

liegt. Das kann, muss aber keinesfalls

φ

sein.

Beispiel:

cos (300^{\circ}) = \frac{1}{2},

aber

a r c c o s (\frac{1}{2}) = 60^{\circ}

Allerdings ist

{cos}^{- 1} (\frac{1}{2}) = \pm 60^{\circ} + k \cdot 36 o^{\circ}

und mit

- 60^{\circ} + 1 \cdot 360^{\circ}

landest du damit auch bem Ausgangswinkel

300^{\circ}

> (

der Quadrant ist gegeben)
Und ich vermute, dass es zusätzlich auch irgendeine weitere Beschränkung wie zB

0 \leq φ \leq 360^{\circ}

geben wird. Damit wird die Umkehrung von

cos (φ) = . .

. dann wieder eindeutig, aber eben, wie gerade am Beispiel gezeigt, nicht direkt mit der

a r c c o s

Funktion.

Wenn meine Vermutung, dass

0 \leq φ \leq 360^{\circ}

gelten soll, richtig ist, gilt dann:

φ = a r c c o s (cos φ)),

wenn

φ

im ersten oder zweiten Quadranten liegen soll.

φ = 360^{\circ} - a r c c o s (cos φ)),

wenn

φ

im dritten oder vierten Quadraten liegen soll.

Dome123 aktiv_icon

11:53 Uhr, 26.04.2017

Es gilt entweder -90°

\leq φ \leq

0° oder 0°

\leq φ \leq

90°. Welcher der beiden Bereiche gilt ist bei der Berechnung klar, das es durch eine Elektronische Schaltung gegeben ist.

Habe ich es dann soweit richtig verstanden, das bei 0°

\leq φ \leq

90° die Fromel

φ =

-arcos(cos

φ)

und bei 0°

\leq φ \leq

90° die Formel

φ =

arccos(cos

φ)

gebraucht werden kann?

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dank ich im voraus, da ich viel neues gelernt habe und auch einiges begriffen, da ich arccos unbewusst nur bei -90°

\leq x \leq

0° benutzt habe und gar nichts von den einschränkungen gewusst habe.

Roman-22

12:01 Uhr, 26.04.2017

Irgendwie bist du bei deinem letzten Beitrag mit den Bereichen durcheinander gekommen.

a r c c o s

liefert nie negative Werte

In deinem Fall gilt:

φ = a r c c o s (cos φ)

wenn

0^{\circ} < φ < 90^{\circ}

und

φ = - a r c c o s (cos φ)

wenn

- 90^{\circ} < φ < 0^{\circ}

Dome123 aktiv_icon

12:48 Uhr, 26.04.2017

Da gab es ein durcheinander mit ctrl.

c

und ctrl.

v

. Gedacht war es wie du es geschrieben hast. Dann bedanke ich mich nochmal viel mal für die Infos.

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