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autonome DGL mit der Lösung y(x)=sin(x)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: autonome DGL, DGL, Gewöhnliche Differentialgleichungen, sin, sin (x)

123Anonym aktiv_icon

15:59 Uhr, 24.10.2020

Es ist eine autonome DGL

F (y, y^{ʹ}, y^{ʺ}, y^{‴}, . . ., y^{n})

gegeben mit der Lösung

y (t) = s i n (t)

. zz. ist dass

c o s (t)

ebenfalls eine Lösung für die autonome DGL ist.Hat da jemand einen Ansatz oder eine Lösung? Ich stehe auf dem Schlauch.

Autonom bedeutet nach unserem Skript, dass die Funktion unabhängig von der ersten Variable ist. Mehr weiß ich leider nicht und werde aus den Infos aus dem Internet dazu auch nicht schlau. Ich habe irgendwie daran gedacht, dass man

s i n

ableiten muss um auf

c o s

zu kommen aber ein Beweis fehlt mir komplett.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

16:30 Uhr, 24.10.2020

Nutze, dass

\cos (x) = \sin (x + π / 2)

123Anonym aktiv_icon

16:39 Uhr, 24.10.2020

Könnte man damit argumentieren, dass wenn y(x) eine Lösung ist auch y(x)=y(x+c) eine Lösung sein muss und demnach hier für diesen Fall sin(x) eine Lösung ist und sin(x+c) auch eine? Wenn c nun

\frac{π}{2}

ist dann ist y(x)= cos(x) auch eine Lösung?

DrBoogie aktiv_icon

16:48 Uhr, 24.10.2020

Genauso muss man argumentieren.
Aber es ist wichtig zu verstehen, dass

y (x + c)

nur deshalb auch eine Lsg ist, weil DGL autonom ist.

123Anonym aktiv_icon

16:51 Uhr, 24.10.2020

Ich würde gerne verstehen warum genau das so ist. Was hat das mit der Eigenschaft zu tun, dass die Funktion von der ersten Variable unabhängig ist (das ist doch die Eigenschaft einer autonomen DGL wenn ich richtig liege)

123Anonym aktiv_icon

16:58 Uhr, 24.10.2020

Danke

DrBoogie aktiv_icon

17:05 Uhr, 24.10.2020

Du kannst einfach paar Beispiele von Gleichungen betrachen, um den Unterschied zu sehen.

Z.B.

y ʹ (x) = 2 y (x) + 1

ist autonom, sie hängt nicht explizit von

x

ab.
Wenn jetzt

y_{1} (x)

eine Lsg davon ist, dann gilt

y_{1} ʹ (x) = 2 y_{1} (x) + 1

für alle

x

, also auch für

x + c

. Damit gilt

y_{1} ʹ (x + c) = 2 y_{1} (x + c) + 1

. Wenn wir jetzt

y_{2} (x) := y_{1} (x + c)

definieren, dann gilt

y_{2}^{ʹ} (x) = y_{1}^{ʹ} (x + c)

und deshalb auch

y_{2}^{ʹ} (x) = 2 y_{2} (x) + 1

.

Wenn wir aber die DGL

y ʹ (x) = 2 y (x) + x

haben, funktioniert das Ganze nicht mehr. Diese Gleichung gilt für alle

x

, sie gilt also auch wenn wir

x

durch

x + c

ersetzen. Daraus entsteht die Gleichung

y ʹ (x + c) = 2 y (x + c) + x + c

, und hier sieht man das Problem: das ist eine andere Gleichung. Wenn wir wieder wie oben

y_{2} = y_{1} (x + c)

setzen (und voraussetzen, dass

y_{1}

eine Lsg der Originalgleichung ist), dann gilt für

y_{2}

y_{2}^{ʹ} (x) = 2 y_{2} (x) + x + c

. Aber nicht

y_{2}^{ʹ} (x) = 2 y_{2} (x) + x

, wenn

c \neq 0

123Anonym aktiv_icon

17:07 Uhr, 24.10.2020

Okay verstehe.Vielen Dank für die Hilfe und Erklärung :-)

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