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basis
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Körper
Relationen
Tags: Gruppen, Körper, Relation.
 
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Ein Element ∈ heißt genau dann minimal, wenn ∀ ∈ ≤ . Um die Existenz von Basen von endlich erzeugten Vektorräumen ohne das Lemma von Zorn zu zeigen, benötigen wir folgendes Resultat: Behauptung: Jede nichtleere, endliche, geordnete Menge (M,≤) besitzt ein minimales Element. Zeigen Sie dies mittels Induktion. ich habe keine ahnung wo und wie ich bei dieser aufgabe anfangen soll, bitte um hilfe Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"Behauptung: Jede nichtleere, endliche, geordnete Menge (M,≤) besitzt ein minimales Element. Zeigen Sie dies mittels Induktion." Wenn die Menge nur aus einem Element besteht, ist da nichts zu beweisen. Damit ist IA gezeigt. Für den IS nehmen wir an, dass für alle -elementige Mengen es stimmt. Betrachten eine Menge aus Elementen. Nehmen daraus zufällig ein Element. Wenn es ein minimales Element ist, sind wir fertig. Wenn es kein minimales Element ist, dann betrachten die restlichen Elemente. Diese Menge hat ein minimales Element. Das ist dann offensichtlich auch das minimale Element der Originalmenge. Das beweist den IS. |
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Wenn ich aus der elementigen menge, ein element nehme und sehe, dass es minimal ist, müsste ich noch überprüfen ob es linear unabhängig ist oder wenn ja, dann bin ich fertig, wenn nicht dann mache ich so weiter bis ich ein Element finde, das minimal und linear unabhängig ist. Habe ich so verstanden, hoffe, dass ich es richtig verstanden habe |
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In der Behauptung "Behauptung: Jede nichtleere, endliche, geordnete Menge (M,≤) besitzt ein minimales Element. eigen Sie dies mittels Induktion." geht es um Mengen. Von welcher linearen Unabhängigkeit sprichst du? Wir haben nicht mal Vektoren. |
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Sorry die genau Aufgabenstellung wäre diese |
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Betrachte als das endliche erzeugende System der Vektoren und als die Inklusion. Die Behauptung sagt dann, dass es eine minimale Teilmenge von gibt, die immer noch erzeugend ist. |
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So genau weiss ich nicht wie ich das machen soll,dann müsste es doch eine untere Schranke geben sodass Für B..Basis, E..Erzeugendensystem, dann gilt: . Also müsste man zeigen, dass ist |
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Wenn du deine Aufgabe genauer liest, dann wirst du feststellen, dass dort nicht gefragt ist, wie man Existenz einer Basis beweist. Es geht nur um diese Behauptung über endliche Mengen. |
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Falls du die Existenz einer Basis beweisen willst, reicht diese Behauptung alleine nicht. Kuck z.B. hier: de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Basis_eines_Vektorraums#Existenz_einer_Basis |
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Danke für den link, führt aber ins leere wenn ich jetzt zeigen will das ein minimales elemet existiert,wäre dieser beweis gültig? Sei IA:-D)ie menge besteht aus nur einem element,dann ist man fertig IV:sei besitzt ein minimales elemet IS:n=>n+1 :S=(s_0,....;s_(n+1)).wähle beliebig,falls minimal ist,dann ist man fertig.sei also nicht minimal, dann betrachte die menge ohne s_i,dann gilt ohne . nach IV besitzt diese menge ein minimales element. |
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"wenn ich jetzt zeigen will das ein minimales elemet existiert,wäre dieser beweis gültig?" Ja |
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Vollständigkeit halber muss ich noch zeigen, dass dieses minimale Element eins von ganz ist oder ? Dazu wäre meine idee: Wenn ich jedes mal das minimale element induktiv aus rausnehme, dann ist am ende noch für ein bestimmtes gleich . somit wäre es doch gezeigt oder ? |
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Damit versuchst du doch nur noch einmal dieselbe Behauptung zu beweisen. Wozu? Du weißt: jede endliche geordnete Menge hat ein minimales Element. Sei ein eindliches erzeugendes System. Betrachte die Menge ist ein erzeugendes System . Diese Menge ist endlich und geordnet. Damit hat sie ein minimales Element. Dieses minimale Element (was eine Menge aus Vektoren ist) ist natürlich immer noch erzeugend. Und dieses Element (diese Menge) ist auch linear unabhängig, sonst könnte man sie noch verkleinern (aus einem linear abhängigen System kann man immer einen Vektor entfernen, so dass das neue System denselben Raum erzeugt). Aber dann wäre es nicht minimal. Also ist das minimale Element eine Basis. |
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| Vielen Dank |
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