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bedingte Wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsmaß

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16:27 Uhr, 08.11.2019

Hallo liebe onlinemathe-Community,

ich häng mich derzeit an einem Stochastik Bsp auf, weil ich den richtigen Ansatz nicht finde. Würde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen kann!

Edi hat mit Wahrscheinlichkeit

0.6

den Brei seiner kleinen Schwester gegessen. Am Tatort wurde
ein braunes Haar des Täters entdeckt. Edi hat, wie

20 %

der Bevölkerung, braunes Haar. Wie sicher ist es, dass Edi der Täter war?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten

anonymous

17:13 Uhr, 08.11.2019

Tipp:
Vier-Felder-Tafel

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17:31 Uhr, 08.11.2019

Mir ist es dennoch nicht klar, da ich die Wahrscheinlichkeit der Schnittmengen ja gar nicht kenne?

anonymous

18:05 Uhr, 08.11.2019

OK, du hast Recht. Ich habe mich nochmals näher eingedacht.

Ich bin mittlerweile der Ansicht, dass der Aufgabentext nicht sehr doll ist.

a)

Nehmen wir an, der Aufgabentext wäre wörtlich zu nehmen.
Dann macht nur eine kleine Modifikation des Textes die inhaltliche Banalität offenbar:
Edi hat mit Wahrscheinlichkeit

0,6

den Brei seiner Schwester gegessen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Edi den Brei seiner Schwester gegessen?

b)

Nehmen wir an, die Aufgabe wäre eigentlich so gemeint gewesen:
Der Brei der Schwester wurde nur schon zu oft gemundraubt.
Aus Erfahrung wissen wir, typischerweise ist der Täter ihr Bruder Edi, nämlich mit einer Wahrscheinlichkeit von

0,6

.
Heute wurde der Brei schon wieder gemundraubt.
Aber heute finden wir den zusätzlichen Hinweis mit dem Haar.
Wie hoch wächst nun die (rein mathematische) Wahrscheinlichkeit, dass Edi heute der Täter war?

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18:36 Uhr, 08.11.2019

Vielen Dank für die Rückmeldung!
Ich würde die Fragestellung wie dein

b)

interpretieren, da es ansonsten ja, wie du sagst, offensichtlich wäre.
Mit der bedingten Wahrscheinlichkeit P(Edi|braun) komm ich aber auf die Wahrscheinlichkeit

3,

was nicht sein kann. Wo liegt mein Denkfehler?

anonymous

18:43 Uhr, 08.11.2019

Na ja, also ich habe schon des öfteren hier im Forum anmerken müssen:
Wie soll ich hellsehen, wo dein Denkfehler liegt,
wenn du uns nicht

>

zeigst, was du gerechnet hast,

>

verständlich machst, was du gedacht hast,

>

lesen lässt, was du gemacht hast...

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19:01 Uhr, 08.11.2019

Also ich kenne P(braun)=0,2 sowie P(Edi)=0,6
Nun versuche ich mit P(Edi|braun) die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Edi der Täter war, wenn der Täter braunhaarig war.
Mit dem Satz von Bayes erhalte ich dann aber
P(Edi|braun)=(P(braun|Edi)*P(Edi))/(P(braun))=(1*0,6)/(0,2)=3

Ich nehme an, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Edi|braun) hier überhaupt nicht angebracht ist, daher keine Ausführung im vorigen Post meinerseits.

anonymous

19:05 Uhr, 08.11.2019

Ehrlich gesagt, ich halte nichts von irgendwelchen

p x

Edi

k α () \frac{y}{}

Buchstaben-Salat-Rühreiern, solange wir noch nicht recht wissen, was wir davon halten sollen.

Ich habe mal für uns eine Vier-Felder-Tafel angefangen.
Was meinst du, kannst du weiter machen?

Roman-22

19:10 Uhr, 08.11.2019

>

P(Edi|braun)=(P(braun|Edi)*P(Edi))/(P(braun))=(1*0,6)/(0,2)=3
Die Annahme,
dass der Täter nur mit 20%iger WKT braunhaarig ist
und
dass der Täter mit 60%iger WKT der braunhaarige Edi ist,
widersprechen einander, sodass es zu diesem unmöglichen Wahrscheinlichkeitswert 3 kommt.
Wenn Edi bereits mit 60%iger WKT der Täter ist, müsste man die WKT, dass der Täter braunhaarig ist, jedenfalls höher als

60 %

ansetzen.
Oder aber wir dürfen aus der Tatsache, dass angeblich nur

20 %

der Bevölkerung braunhaarig ist, NICHT schließen, dass auch der Täter nur mit 20%iger WKT braunhaarig ist.

Ich würde für elfengleichs Interpretation

a)

votieren und die 20%-Angabe als Blendgranate werten.
In der Interpretation

b)

wäre das Ergebnis von der unbekannten Gesamtzahl der grundsätzlich infrage kommenden Personen abhängig.
Falls das zB nur 5 Personen wären, würde die Antwort 1 lauten, da Edi dann die einzige braunhaarige Person ist.

P . S . :

Trotzdem bin ich neugierig auf die ausgefüllte Vierfelder-Tafel der Elfe.

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19:45 Uhr, 08.11.2019

Vielen Dank für die Rückmeldungen! Beruhigend zu wissen, dass die Formulierung einfach nicht eindeutig genug ist.
Ich werte, die

20 %

nun als Blendgranate und schließe das ganze ab. :-)

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19:45 Uhr, 08.11.2019

Vielen Dank für die Rückmeldungen! Beruhigend zu wissen, dass die Formulierung einfach nicht eindeutig genug ist.
Ich werte, die

20 %

nun als Blendgranate und schließe das ganze ab. :-)

anonymous

19:55 Uhr, 08.11.2019

Schade eigentlich.
Und dabei wäre es so einfach gewesen...

Roman-22

20:28 Uhr, 08.11.2019

Deine Tabelle spricht aber Edi das Recht ab, als Teil der Bevölkerung gewertet zu werden.
Das kann man ihm aber kaum absprechen und dann ist das Ergebnis von der konkreten Bevölkerungsanzahl abhängig, wie oben geschrieben.

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20:33 Uhr, 08.11.2019

Ich verstehe nicht, wie die Wahrscheinlichkeit für einen anderen Täter als Edi, der nicht braunhaarig ist

0,32

sein kann, wenn der Täter doch braunhaarig ist?

anonymous

20:38 Uhr, 08.11.2019

@Roman
Da gebe ich dir schon recht. Und ich hatte die Aufgabenstellung bzw. deren Wortlaut ja auch schon als nicht ganz so doll bezeichnet.
Allerdings wird Edi an der Gesamtheit der Bevölkerung wohl kaum einen wesentlichen Anteil nehmen, so dass diese Grenzbetrachtung - im Sinne der Lösbarkeit - wohl berechtigt sein könnte.

"Ich verstehe nicht, wie die Wahrscheinlichkeit für einen anderen Täter als Edi, der nicht braunhaarig ist

0,32

sein kann, wenn der Täter doch braunhaarig ist?"

Gehen wir doch Schritt für Schritt vor.
Hattest du die obere Zeile verstanden?
Sind wir uns einig, dass alle braun-haarigen Edi's zu

p = 0,6

die Täter ist / sind?
Sind wir uns einig, dass es keine anders-farbig-haarige Edi's gibt?
Sind wir uns einig, dass Edi zusammenfassend zu

p = 0,6

der Täter ist?

Dann sollte doch auch folgende Frage beantwortbar sein:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand anderes der Täter ist?

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20:41 Uhr, 08.11.2019

Das ist schon klar. Meine Interpretation der Fragestellung ist aber;
"Wie wahrscheinlich ist es, dass Edi der Täter ist, wenn der Täter braunhaarig ist?"
Dass Edi zu

0,6

der Täter ist, ist meiner Meinung nach einfach die relative Häufigkeit der Fälle davor.

anonymous

20:43 Uhr, 08.11.2019

Ja, ganz, ganz richtig.
Jetzt musst du nur auch noch die Antwort finden,
was ja nicht mehr schwer sein sollte.

Roman-22

20:46 Uhr, 08.11.2019

>

Allerdings wird Edi an der Gesamtheit der Bevölkerung wohl kaum einen wesentlichen Anteil nehmen,
Ganz im Gegenteil. Die "Bevölkerung", die Gelegenheit haben könnte, den Brei zu essen, wird wohl eher sehr überschaubar sein.

Wenn

n

die Bevölkerungsanzahl ist, dann ist die gesuchte WKT

P (n) = \frac{0,6}{0,6 + \frac{0,4}{n - 1} \cdot (0,2 \cdot n - 1)}

. Gilt natürlich nur für

n \geq 5

.

Für

n \to \infty

ergibt sich dann erst der Wert

\frac{15}{17} \approx 88,2 %

.

Für kleiner Werte von

n

ergibt sich natürlich ein höherer Wert. Etwa

P (20) \approx 90,5 %

bis zum oben schon erwähnten

P (5) = 100 %

Man könnte die unglückliche Angabe aber leicht reparieren, wenn man schreibt
"Edi hat, wie

20 %

der restlichen Bevölkerung ...."
Das ist zwar recht praxisfern und unlogisch, Edi hier explizit auszunehmen, würde aber zu deiner Rechnung führen.

anonymous

20:50 Uhr, 08.11.2019

Roman - du bist mir um Meilenschritte voraus. So weit habe ich noch gar nicht gedacht, und werde mich auch nicht weiter vertiefen. Ich wollte ganz einfach eine Vier-Felder-Tafel anbieten und der Fragestellerin zueiner anschaulichen Lösung verhelfen, ohne promotionslastig einen "Roman" zu verfassen...

Roman-22

20:52 Uhr, 08.11.2019

Es ging nur darum, klar zu stellen, dass diese so formulierte Aufgabenstellung deine Interpretation

a)

verdient hätte.

Wir sehen in letzter Zeit wieder vermehrt ganz furchtbar formulierte Aufgabenstellungen hier im Forum, sodass ich mir wirklich Sorgen um die Lehrenden mache. Sei es um ihr intellektuelles Niveau oder um die Ernsthaftigkeit, mit der sie ihren Job ausüben. Solche Aufgabenformulierungen dürften doch keinesfalls das Licht der lernenden Öffentlichkeit erblicken.

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21:11 Uhr, 08.11.2019

Dennoch müsste die Wahrscheinlichkeit für einen andersfarbigen-nichtEdi-Täter bei 0 liegen, da der Täter ja braunhaarig ist, oder..?

Nichtsdestotrotz danke ich euch beiden sehr für die Hilfe.
Diese fragwürdige Aufgabenformulierung ist leider nur eine von vielen, und das auf Universitätsniveau... Aber gut.

anonymous

21:19 Uhr, 08.11.2019

"Dennoch müsste die Wahrscheinlichkeit für einen andersfarbigen-nicht Edi-Täter bei 0 liegen"
Ja schon, das ist ja trivial.

Aber die Frage ist ja (Wie schon von dir selbst formuliert):
Wie wahrscheinlich ist es, dass Edi der Täter ist, wenn der Täter braunhaarig ist?

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21:26 Uhr, 08.11.2019

Aber in der ausgefüllten Tabelle liegt sie bei

0,32

und nicht bei 0? Entweder ich stehe völlig auf dem Schlauch oder wir reden aneinander vorbei.

anonymous

21:30 Uhr, 08.11.2019

Das befürchte ich ja gerade, dass trotz der langen Hin- und Hers immer noch nicht der Groschen gefallen ist (obwohl schon angerissen).

Also:
Wir wissen, dass der Täter braunhaarig ist.

>

Wie groß ist die Grundgesamtheit der Braunhaarigen?

>

Wie groß ist der Anteil des braunhaarigen Edi an dieser Grundgesamtheit?

Kurz gesagt:
Wahrscheinlichkeit = (Anteil der günstigen Ereignisse) geteilt durch (Anteil aller (braunhaarigen) Ereignisse)

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21:46 Uhr, 08.11.2019

Anteil der günstigen: P(Edi,braun)=0,6
Grundgesamtheit: P(braun)=0,2
Somit wäre die Wahrscheinlichkeit

\frac{0,6}{0,2} = 3

anonymous

21:51 Uhr, 08.11.2019

Oh je, oh je.

Anteil der Braunhaarigen:

p = 0.68

(Wir bewegen uns doch in der linken Hälfte unseres anschaulichen Vier-Felder-Tafel.
Ich habe sie extra nochmals farblich grün hervor-gehoben.)

Anteil unseres Edi:

p = 0.6

Daher
Wahrscheinlichkeit, dass Edi der Täter ist, wenn wir wissen, dass der Täter braunhaarig ist:

p = \frac{0,6}{0,68} = \frac{15}{17} = 0.882353

Wie lehrreich, hilfreich und anschaulich doch eine Vier-Felder-Tafel sein kann...

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