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bedingte Wahrscheinlichkeiten

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: bedingte Wahrscheinlichkeiten, Gegenereignis, Wahrscheinlichkeitsmaß

meldo1992 aktiv_icon

11:23 Uhr, 12.08.2022

Hallo!

Ich zerbreche mir nun schon den ganzen morgen en Kopf zu folgender Fragestellung:

Eine Studie hat ergeben, dass unter Medaillengewinnern einer Olympiade

45 %

gedopt waren und von den Spielern, die keine Medaille gewonnen haben waren

30 %

gedopt. Nur 5 von

100

Sportlern waren Medaillengewinner.

Frage: wie wahrscheinlich ist es für einen ungedopten bzw einen gedopten Sportler eine Medaille zu gewinnen.

Ansatz:

gegeben:

P (D | G) = 0,45

P (D | G -) = 0,3

wobei

D

für Doping bzw.

D -

für kein Doping und

G

für gewonnen bzw.

G -

für nicht gewonnen steht.

sonst konnte ich

m . H

. des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit noch

P (D) = 0,3075

und somit

P (D -) = 0,6925

und aus der Aufgabenstellung

P (G) = 0,05 & P (G -) = 0,95

nutzen.

Jetzt frage ich mich nach den restlichen Zusammenhängen.

P (G | D -) = \frac{P (G & D -)}{P (D -)}

P (G & D -) = P (G) \cdot P (D -) = 0,034625

\to P (G | D -) = 0,05

Als Ergebnis sollte ich

0,0397

rausbekommen.

Welche Zusammenhänge kann man denn hier sonst noch finden und was ist falsch an meiner Rechnung?

Liebste Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Laplace-Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten
Mengenlehre

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11:39 Uhr, 12.08.2022

Baumdiagramm:

a)

ungedopt+Medaille:

\frac{0,05 \cdot 0,55}{0,05 \cdot 0,55 + 0,95 \cdot 0,7} = 3,97 %

b)analog

Alternativ mit Vierfeldertafel (ist aufwändiger)

meldo1992 aktiv_icon

12:09 Uhr, 12.08.2022

Lieber supporter,

danke für die schnelle Antwort.

kannst du mir vielleicht noch kurz erläutern was die

0,55

bzw.

0,7

in Formeln ausgedrückt bedeutet? Ich verstehe das mit den Gegenereignissen bezogen auf die bedingten Wahrscheinlichkeiten absolut nicht.

0,55 = 1 - P (D | G) = P (D - | G -)

0,7 = 1 - P (D | G -) = P (D - | G)

?

ich finde leider keine Übersicht über die Zusammenhänge im Internet und wäre froh das ganze verallgemeinert zu verinnerlichen, dass ich das dann vielleicht irgendwie mal die Zusammenhänge verstehe.

meldo1992 aktiv_icon

12:09 Uhr, 12.08.2022

Lieber supporter,

danke für die schnelle Antwort.

kannst du mir vielleicht noch kurz erläutern was die

0,55

bzw.

0,7

in Formeln ausgedrückt bedeutet? Ich verstehe das mit den Gegenereignissen bezogen auf die bedingten Wahrscheinlichkeiten absolut nicht.

0,55 = 1 - P (D | G) = P (D - | G -)

? oder ist das Gegenereignis dazu

P (D - | G)

0,7 = 1 - P (D | G -) = P (D - | G)

? oder

P (D - | G -)

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12:32 Uhr, 12.08.2022

Mach dir einem Baum!

1.Abzweigung

0,05

und

0,95

2.Abzweigung:0,45

u

0,55

bzw.

0,3 u, 0,7

HAL9000

12:33 Uhr, 12.08.2022

Beim Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit des Gegenereignis (Komplement)

A^{c}

wird NICHT die Bedingung komplementiert!!! D.h, es ist

P (A^{c} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)

,

d.h. Bedingung

B

bleibt unverändert. Sowas wie

P (A^{c} ∣ B) \overset{?}{=} 1 - P (A ∣ B^{c})

ist schlicht Unfug.

Ein weiterer Fehler in deinem Eröffnungsbeitrag ist das in einer Zeile stehende

P (G \cap D^{c}) \overset{?}{=} P (G) \cdot P (D^{c})

.

Das ist nur dann richtig, sofern

G

und

D

unabhängig sind - was hier nicht der Fall ist (sonst macht die ganze Aufgabe hier keinen Sinn).

meldo1992 aktiv_icon

10:16 Uhr, 13.08.2022

Hallo ihr liebenn,

frisch mit Kaffee konnte ich mir nun selbst die Zusammenhänge verdeutlichen.

Es gilt:

P (A | B) + P (A - | B) = 1

P (A | B -) + P (A - | B -) = 1

gecheckt aus den Tabellen der bedingten empirischen Verteilungen.
Die einzelnen Möglichkeiten aus der Bedingung müssen immer 1 ergeben.

Demnach lässt sich die Aufgabe auch verallgemeinern über Satz von Bayes:

\frac{P (A - | B) \cdot P (B)}{P (A - | B) \cdot P (B) + P (A - | B -) \cdot P (B -)}

Danke für den Gedankenanstoß!

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