Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » beliebige Vereinigung

beliebige Vereinigung

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstig

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Haribo24

Haribo24 aktiv_icon

23:10 Uhr, 13.10.2015

Antworten
hallo,liebe leute hänge gerade an einem Beispiel,welches der Prof. heute vorgezeigt hat aber ich habe es nicht verstanden.
Die Aufgabe lautet,

pPAp= Z\(+1,-1);P ist die Menge aller Primzahlen

Ap:={n gibt es ein k:n=pk}

Kann mir jemand erklären,was wie das zeigen soll für die Gleichung?

es muss doch pPAp und pPAp gelten damit die gleichung erfüllt ist wie kann man das aber zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

23:35 Uhr, 13.10.2015

Antworten
Hallo,

Bei der Menge P handelt es sich um die Menge der Primzahlen.
Dann wäre Ap die Menge aller ganzen Zahlen, die p als Primteiler aufweisen, also etwa für p=3 die Menge {0,±3,±6,±9}=A3. Man kann auch sagen, dass Ap die Menge aler Vielfachen von p ist (wobei man aber beachten muss, dass auch negativzahlige Vielfache erlaubt sind).

Nun scheint eine Mengengleichheit pPAp=\{-1;1} zu beweisen zu sein.
"" sollte klar sein, da alle Elemente von \{-1;1} Vielfaches einer Primzahl oder eine Prinzahl selbst sind.

Für "" muss man wegen Ap für alle pP nur zeigen, dass ±1Ap für alle pP gilt.

Dazu reicht aber ein Widerspruchsbeweis, abhängig davon, was ihr verwenden dürft.

Mfg Michael
Haribo24

Haribo24 aktiv_icon

23:50 Uhr, 13.10.2015

Antworten
hallo,danke mal für deine antwort,aber

weder noch ist mir kalr könntest du mir das bitte erklären?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

07:29 Uhr, 14.10.2015

Antworten
Hallo,

nun, denn. Gehen wir zuerst nochal "" an:
Zu zeigen ist also, dass pPAp\{±1}.
Sei dazu x\{±1} beliebig und y:=x (jedenfalls ist bei mir 0 eine natürliche Zahl).
Falls y=0, also dann auch x=0 und selb(st)verständlich gilt 0Ap für alle pP, da in der Definition der Ap:={nes ex. ein k:n=kp} k=0 explizit erlaubt ist.

Damit gilt 0Ap (sogar für alle p) und damit auch 0pPAp.

Wir können uns also auf y0, d.h. y>1 beschränken (da x0,±1).
Falls nun kein echter Teiler von y existiert, d.h. der Teilerverband von y aus genau den beiden (verschiedenen) Elementen Ty={1,y} besteht, so ist y eine Prinzahl und damit gilt x,yAy. (Bedenke x=±y!)
Existiert aber ein Teiler q mit 1<q<y, so betrachte ich die Menge M:={q\{1,y}:qy} aller echten Teiler von y. Sicher gilt M. Und wegen M hat M ein kleinstes Element q0. Behauptung ist: q0 ist prim. (Wenn nicht, gäbe es noch kleinere Teiler. Siehe Beweis zur Existenz der Primfaktorzerlegung.)
Damit gilt also q0y und wegen x=±y auch q0x. Damit folgt x,yAq0pPAp.

Erstmal so weit. Fragen dazu?

Mfg Michael
Frage beantwortet
Haribo24

Haribo24 aktiv_icon

08:43 Uhr, 14.10.2015

Antworten
Danke