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beschränktes Wachstum, Berechnung von k und G
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Beschränktes Wachstum, brechnen, Grenze, Wachstumskonstante
 
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Hallo zusammen, ich hab da so ne Aufgabe über beschränktes Wachstum und komm nicht weiter. In der Schule hatten wir eine Formel an der Tafel die ich nicht verstanden habe. f(0)+g*(1-e^-kx) Ich hab geinen Plan was damit gemeint sein soll und wie man damit rechnet da ich nur die Formel: f(x)=G-c*e^-kx kenne. Aber meine Lehrerin hat mir bestätigt dass man mit dieser Formel genauso rechnen könnte. In der Aufgabe geht es um Pflanzenwachstum. Alles was ich habe ist: Mein Problem ist jetzt die Berechnung der Wachstumskonstante und der Grenze G. Bisher habe ich und versucht gleichzusetzten, also und und das gleichgesetzt um zu berechnen, wobei sich am Ende immer irgendwie rausgekürzt hat. Ich bin davon ausgegangen das ist, aber hab gemerkt dass das ja auch nicht sein kann, da für sein muss und der e-Wert=1 wird und sein muss. Sozusagen hab ich noch ne dritte Variable und weiß nun absolut nicht mehr weiter. Bitte um Hilfe, wennst geht mit der gleichen Formel und Bezeichnungen wie ich sie habe, sonst komm ich vollends durcheinander. Danke Inamia Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Durch Vergleich der Formeln (Klammer der 1. Formel ausgerechnet) f(x) = f(0) + g –g.e^(-kx)(1) f(x) = G -c.e^(-kx)(2) ergibt sich: f(0) + g = G(3) undg = c (4) Untersuchung der Grenzfälle der Formeln: Für den Fall x = 0 ist e^(-kt) = 1 und somit für (1): f(0) = f(0) + g – g und für (2): f(0) = G – c was sich ja auch aus der Kombination von (3) und (4) ergibt. Für den Fall x -> unendlich strebt e^(-kx) -> 0 was für (1) bedeutet: f(x) -> f(0) + g wie auch in (3) geschrieben und für (2): f(x) -> G was die Definition für den Grenzwert ist, womit die obigen Ergebnisse bestätigt sind. Wichtig ist: G und g haben verschiedene Bedeutung! Für die Formel (1) ergibt sich für die Angaben: f(1) = 138 = 120 +g(1-e^(-k.1))(5) f(2) = 153 = 120 +g(1-e^(-k.2))(6) f(3) = 165 = 120 +g(1-e^(-k.3))(7) Dies ist ein überbestimmtes Gleichungssystem (3 Gleichungen mit 2 Unbekannten), das näherungsweise unter der Nebenbedingung gelöst werden kann, dass die Werte f(x) mit Fehlern behaftet sind, deren Quadratsumme minimiert werden soll. Zweckmäßig bestimmt man aus den Gleichungen (5) und (7) (größe Differenz der x-Werte = größte Genauigkeit) Startwerte für die nachfolgende iterative Optimierung: Aus (5) ergibt sich: 18 = g(1-e^(-k))(8) und aus (7)45 = g(1-e^(-k.3))(9) Durch Division von (9) durch (8) erhält man: 2,5 = (1-e^(-k.3))/ (1-e^(-k)) und durch graphische Lösung: k = 0,195 und nach einsetzten in (8): g = 102 Die iterative Minimierung der Fehlerquadratsumme ergibt k = 0,195 und g = 101,8. Diese Lösung ist nur dann sinnvoll, wenn es sich um ein stetiges Merkmal, wie das Pflanzengewicht handelt. Wenn die Zahl der Pflanzen gemeint ist, ist g auf eine ganze Zahl zu runden (g = 102). Für G ergibt sich aus (3): G = 120 + 101,8 = 221,8 bzw. nach Rundung G = 222. |
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Hallo, danke für deine Antwort. So wie du es gerechnet hast mit der Formel, bekomme ich es auch hin. ALso rechnen kann ich das, nur den Ansatz verstehe ich nicht. Deshlab würdel ich lieber mit der anderen Formel rechnen von der ich wenigstens den Ansatz verstehe, also mit: Mit dieser Formel müsste es ja genauso gehen, aber ich komm nicht drauf wie ich und berechne ohne weitere Hilfen. |
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Also gut noch einmal mit der Formel: –c.e^(-k.x)
für –c.e^(-k.0) –c –c.e^(-k.1) –c.e^(-k.2) –c.e^(-k.3) Die Substitution von durch führt nach Ausklammern von und Berücksichtigung von unmittelbar zu den Gleichungssystem, das sich aus der anderen Formel ergibt. |
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