Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » beschreibung von übergangsprozessen(matrizen)

beschreibung von übergangsprozessen(matrizen)

Schüler

Tags: matriz, Produktionsprozess, Übergangsprozess

bamli3 aktiv_icon

21:10 Uhr, 05.11.2015

Hallo,
Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:

Ein Maikäferweibchen lägt 80eier und stirbt balddanach. von den sich daraus entwickelnden Larven überleben nur einviertel das darauffolgende Jahr. auch im zweiten jahr überleben nur ein viertel der larven. im dritten jahre verpuppen sich die larven und aus einem fünftel von ihnen entwicckelnsich im folgenden jahr maikäferweichen.

/ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ≺ - - - - - - - - - 80 - - - - - - - - - - - - - - - ≺ - - - - - - - - - - -

Larven1

- - \to 0,25

Larven2

- - \to 0,25 - - \to

Larven3

0,2 - - \to

Mäikäferweibchen
2. berechnen sie die entwicklung der population der maikäfer für die nächsten vier jahre. die start population besteht aus

6000

LARVEN

1, 2000

larven

2, 300

larven 3 und

500

käferweibchen.

Werner-Salomon aktiv_icon

22:31 Uhr, 05.11.2015

Hallo,

zunächst gilt es die Übergangsmatrixmatrix auf zu stellen. Da sind die vier verschiedenen Stadien der Käferentwicklung, Du brauchst also eine 4x4-Matrix

(\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \\ 20 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} M \\ L 1 \\ L 2 \\ L 3 \end{array})

zum Verständnis: schaue Dir die erste Spalte an. Sie besagt, welche Wirkung die Anzahl der Maikäferweibchen auf die Population im nächsten Jahr hat. Für jedes Weibchen wird es im nächsten Jahr 80/4=20 einjährige Larven geben.
In der zweiten Spalte steht, dass von vier einjährigen Larven (L1) im nächsten Jahr nur eine überlebt (L2) - daher 1/4 .. usw.

Ich unterstelle, Du weißt wie Matrizen multipliziert werden.
Um die Entwicklung der nächsten 4 Jahre zu bestimmen, muss diese Matrix 4-mal mit sich selbst multipliziert werden (hoch 4). Wenn Du das Ergebnis dann mit dem Startvektor multiplizierst erhältst Du die Population im 4.Jahr

Tipp: multipliziere die Matrix erst mit sich selbst und dann das Produkt wieder mit sich selbst und erst dann mit dem Ausgangsvektor der Population.

Gruß
Werner

bamli3 aktiv_icon

23:14 Uhr, 05.11.2015

Ich verstehe deine matrix nicht.

ledum aktiv_icon

23:26 Uhr, 05.11.2015

In der ersten Spalte steht das Ergebnis von

(1,0,0,0)

in der zweiten das Ergebnis von

(0,1,0,0)

in der dritten das Ergebnis von

(0,0,1,0)

diese Spalte ist denke ich falsch
in der letzten Spalte das Ergebnis von

(0,0,0,1)

also die Ergebnisse der "4 Basisvektoren" in den 4 Spalten,
Gruß ledum)

bamli3 aktiv_icon

13:19 Uhr, 07.11.2015

Ehm jetzt verstehe ich gar nichts mehr der eine schreibt irgendwas mit

20000

und brüchen und der andere etwas ganz anderes.

warum überhaupt

z . b

0100

?

MfG, ich würde die Aufgabe wirklich gerne verstehen.

bamli3 aktiv_icon

15:20 Uhr, 07.11.2015

Achso wir haben also:

als Anfangs population:

(6000)

(2000)

(300)

(500)

und das für die Verteilung:

(0 . . 0 . . 0 . . 80)

(0,25 . . 0 . . 0 . . 0)

(0 . . 0,25 . . 0 . . 0)

(0 . . 0 . . 0,2 . . 0)

Und dann muss ich nurnoch 4 mal die Anfangspopulation mit sich selbst multiplizieren und das ergebnis dann mitder Verteilung oder?
(edit anders rum Verteilung mal 4 und dann mal anfangspopulation, da die Verteilung ja den populationsprozess je jahr darstellt und ich es für 4 jahre haben will)

richtig?

bamli3 aktiv_icon

20:48 Uhr, 07.11.2015

WO IST das problem warum antwortet keiner..?!

Werner-Salomon aktiv_icon

22:27 Uhr, 07.11.2015

Hallo bamli,

.. tja - hatte um kurz nach 16:00 angefangen Dir zu antworten, aber dann kam sehr brutal das Leben außerhalb dieses Forums dazwischen.

Ich versuch's nochmal:
Man betrachtet die Population von Maikäferweibchen und den Larven in den drei Stadien im Jahre

n

und schließt daraus auf die Population im Jahre

n + 1

.

"Ein Maikäferweibchen lägt 80 Eier und stirbt bald danach. von den sich daraus entwickelnden Larven überleben nur ein Viertel das darauf folgende Jahr."

L 1_{n + 1} = \frac{80}{4} \cdot M_{n}

"im zweiten Jahr überleben nur ein Viertel der Larven (L1)"

L 2_{n + 1} = 0, 25 \cdot L 1_{n}

"im dritten Jahre verpuppen sich die Larven"

L 3_{n + 1} = L 2_{n}

Bem.: alle Larven im Stadium '2.Jahr' erleben lt. Vorgabe auch das dritte - also kein Schwund

".. und aus einem Fünftel von ihnen (den L3-Larven) entwickeln sich im folgenden Jahr Maikäferweichen"

M_{n + 1} = 0, 2 \cdot L 3_{n}

alles nochmal zusammen fassen:

M_{n + 1} = 0, 2 \cdot L 3_{n}

L 1_{n + 1} = 20 \cdot M_{n}

L 2_{n + 1} = 0, 25 \cdot L 1_{n}

L 3_{n + 1} = L 2_{n}

Im allgemeinen Fall könnte jetzt jede Anzahl von jeder anderen statt nur jeweils von einer, so wie hier abhängen. Man könnte sich ja vorstellen, das aus einem Teil der 2-jährigen Larven im Jahr darauf bereits Maikäfer werden.
Deshalb schreibt man allgemeiner:

M_{n + 1} = 0 \cdot M_{n} + 0 \cdot L 1_{n} + 0 \cdot L 2_{n} + 0, 2 \cdot L 3_{n}

L 1_{n + 1} = 20 \cdot M_{n} + 0 \cdot L 1_{n} + 0 \cdot L 2_{n} + 0 \cdot L 3_{n}

L 2_{n + 1} = 0 \cdot M_{n} + 0, 25 \cdot L 1_{n} + 0 \cdot L 2_{n} + + 0 \cdot L 3_{n}

L 3_{n + 1} = 0 \cdot M_{n} + 0 \cdot L 1_{n} + L 2_{n} + 0 \cdot L 3_{n}

oder eben das gleiche in Vektor- bzw. Matrix-Schreibweise

{(\begin{array}{rcl} M \\ L 1 \\ L 2 \\ L 3 \end{array})}_{n + 1} = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 0 & 0, 2 \\ 20 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0, 25 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{rcl} M \\ L 1 \\ L 2 \\ L 3 \end{array})}_{n}

.. und diese Matrix ist eben die Übergangsmatrix

Gruß
Werner

ledum aktiv_icon

22:46 Uhr, 07.11.2015

Hallo Werner
wie kommst du aus dem- sicherlich eigenartigen Aufschrieb der Aufgabe zu

L 3_{n + 1} = L_{2}_n

ich hätte

L 3_{n + 1} = 0.25 \cdot L_{2}_n

entnommen.
Gruß ledum

Werner-Salomon aktiv_icon

22:55 Uhr, 07.11.2015

Hallo ledum,

ich hatte es in der Bemerkung schon versucht zu erklären: Ich schrieb oben "alle Larven im Stadium '2.Jahr' erleben lt. Vorgabe auch das dritte - also kein Schwund".

Lt. Aufgabestellung erleben zwar nur ein Viertel der L1-Larven das nächste Jahr - werden also zu L2-Larven, aber alle L2-Larven verpuppen sich darauf hin. Und es werden alle zu L3-Larven. Von irgendeinen Schwund steht nichts in der Aufgabenstellung.

Ich interpretiere aus der Aufgabenstellung auf jeden Fall einen 4-Jahres-Zyklus. Siehst Du das auch so?

Im Übrigen ist hier

M^{4} = E

, wenn Du zwischen L2 und L3 einen Schwund(Wert <1) bei sonst unveränderten Werten hättest, dann würden in dieser Aufgabe die Käfer irgendwann aussterben.

bamli3 aktiv_icon

12:42 Uhr, 08.11.2015

Ich blicke bei dir überhaupt nicht durch.. ich habe Lösungen im Internet gefunden und dort is es ganz anders gerechnet worden. (glaub ich jedenfalls)

MfG

´ www.google.de/search?q=Ein+Maik%C3%A4ferweibchen+legt+80+Eier+und+stirbt+bald+danach.+Von+den+sich+daraus+entwickeln-den+Larven+%28Engerlinge%29+%C3%BCberleben+nur+ein+Viertel+das+darauffolgende+Jahr.+Auch+im+zweiten+Jahr+%C3%BCberleben+nur+ein+Viertel+der+Larven.+Im+dritten+Jahre+verpuppen+sich+die+Larven+und+aus+einem+F%C3%BCnftel+von+ihnen+entwickeln+sich+im+folgenden+Jahr+Maik%C3%A4ferweibchen,+die+wie%C2%ACder+80+Eier+legen.&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=9zQ_VumxDcadPtHYlagD#q=Ein+Maik%C3%A4fer+Weibchen+legt+80+Eier+und+stirbt+bald+danach.+

Werner-Salomon aktiv_icon

14:51 Uhr, 08.11.2015

Hallo bamli3,

Du schreibst: "Ich blicke bei dir überhaupt nicht durch"
Vorher hatte ich Dir relativ lang und ausführlich geantwortet. Wo soll ich jetzt mit Erklärungen anfangen?

Ich möchte Dir wirklich gerne helfen, und Du könntest mir dabei helfen, wenn Du mir mitteilst, an welcher Stelle obiger Ausführung, diese für Dich unzureichend ist.

zu der Googlesuche: mein erster Treffer ist: "http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/la/um/Maikaeferpopulation.pdf" soweit ich der deutschen Sprache mächtig bin, passt der Text der Aufgabenstellung nicht zu dem Bild darunter.
Wobei das Endergebnis wieder identisch mit meinem Ergebnis sein wird, da nur eine Verschiebung, aber keine Änderung der Überlebensrate erfolgt.

Aber ich finde, dass die Aufgabestellung auch etwas mehrdeutig ist. Abgesehen davon sind alle weiteren Links, die ich mir angesehen habe, Kopien des Ersten - das macht die Aufgabenstellung nicht besser.

.. sag' mir doch einfach, wo Du meine Ausführungen nicht verstehst.
Und wir können auch gern beide Varianten durch kauen, auf das Endergebnis hat das - wie schon erwähnt - keinen Einfluss.

Gruß
Werner

bamli3 aktiv_icon

15:36 Uhr, 08.11.2015

Ok,schon mal danke für deinen Einsatz das finde ich wirklich sehr nett von dir.

Also, ich würde lieber den Lösungsweg der im Internet zu finden ist besprechen bzw. erklärt bekommen, da er mir vertrauter vor kommt.

Also:
Der Zustandsvektor der Startpopulation sieht ja so aus:

L 1 (0) = (6000)

L 2 (0) = (2000)

L 3 (0) = (. 300)

K (0) = (. 500)

(das ganze ist

P 0)

Das gibt einfach die Population von zustand

(0)

an und ist aus der Aufgabenstellung Nr.2 entnommen.

Nach einem

(1)

Jahr wird die Population so berechnent:

80 \cdot k (0)

0,25 \cdot L 1 (0)

0,25 \cdot L 2 (0)

0,2 \cdot L 3 (0)

P (1)

und in matrixschreibweise sieht es halt so aus wie bei "LGS in matrix schreibweise", das ist dann einfach anders aufgeschrieben aber im Prinzip das gleich.
(Anhang)

- -

Aber wie man jetzt auf die Population nach vier Jahren kommt und wieso man mit den benötigten Lösungsweg darauf kommt habe ich noch nicht verstanden.

MfG, ich glaube ich habe es jetzt besser versstanden aber kannst du bitte sagen ob meine aussagen richtig sind? Und wenn nötig noch weiter und genauer ausführen, damit ich falls etwas fehlt das auch noch verstehe.

Werner-Salomon aktiv_icon

15:48 Uhr, 08.11.2015

.. gut das bringt uns schon weiter.

Bevor ich wieder länglich werde:
- ist Dir klar wie man von der Population des ersten Jahres auf die des zweiten kommt? (sollte klar sein, steht ja da schon)
- ist Dir klar, wie man dazu die Matrix benutzt?

bamli3 aktiv_icon

15:54 Uhr, 08.11.2015

-ja
-ja, indem man einfach die

4 X 4

Matrix mal den Startpopulationsvektor rechnet... im Grunde ist es ja eine einfache Multiplikation deswegen ist in jeder Zeile auch immer nur eine zahl größer null.

Werner-Salomon aktiv_icon

16:01 Uhr, 08.11.2015

Ok - prima.
Und kannst Du das jetzt noch dreimal hintereinander ausführen. Die Regeln und damit die Übergangsmatrix ändert sich in den folgenden Jahren nicht.

P (0) = (\begin{array}{rcl} 6000 \\ 2000 \\ 300 \\ 500 \end{array})

und das hattest Du schon:

P (1) = (\begin{array}{rcl} 80 \cdot 500 = 40000 \\ 0, 25 \cdot 6000 = 1500 \\ 0, 25 \cdot 2000 = 500 \\ 0, 2 \cdot 300 = 60 \end{array})

.. kannst Du nun

P (2)

P (3)

und

P (4)

berechnen?

bamli3 aktiv_icon

16:10 Uhr, 08.11.2015

Achso:

P(1)=P(0)*Ü (Übergangsmatrix)

P(2)=P(1)*Ü

P(3)=P(2)*Ü

P(4)=P(3)*Ü

P (4) =

(6000)

(2000)

(. 300)

(. 500)

Also wäre die Population nach vier jahren wieder so wie die Startpopulation.(WIe schon von dir geschrieben)
Aber warum ist das so? Und warum führt dieser weg zum Ziel, da bräuchte ich nochmal eine Erklärung.

Werner-Salomon aktiv_icon

16:27 Uhr, 08.11.2015

ja prima, genau so - wobei eine Kleinigkeit noch zu sagen wäre
korrekter wäre:

P (1) = Ü \cdot P (0)

das wäre korrekt, solange man die Zustandsvektoren - also hier die Population - in einer Spalte schreibt und nicht in einer Zeile.

Bei Matrizenmultiplikationen ist nämlich

Ü \cdot P (0)

nicht das gleiche wie

P (0) \cdot Ü

. Man sagt die Multiplikation von Matrizen ist nicht kommutativ ( de.wikipedia.org/wiki/Kommutativgesetz

Schau Dir zum Verständinis mal den Wiki-Link an: de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation und achte mehr auf die Bilder am rechten Rand als auf die Formeln im Text.

Du schreibst: "Und warum führt dieser weg zum Ziel?"
.. tja - warum nicht. Dieser Weg ist doch nur eine Folge von logischen Überlegungen. D.h. nicht dass es der einzige Weg ist, der zum Ziel führt.

Noch mal zur Matrizenmultiplikation.
Du kannst das auch zusammen fassen:

P (4) = Ü \cdot P (3) = Ü \cdot Ü \cdot P (2) = Ü \cdot Ü \cdot Ü \cdot P (1) = Ü \cdot Ü \cdot Ü \cdot Ü \cdot P (0) = Ü^{4} \cdot P (0)

Du darfst zwar die Reihenfolge der Faktoren nicht vertauschen, aber es ist egal in welcher Reihenfolge Du die Produkte berechnest. Die Matrizenmultiplikation ist immer noch assoziativ ( de.wikipedia.org/wiki/Assoziativgesetz

dann wirst Du sehen, dass

Ü^{4}

hier die sogenannte Einheitsmatrix ergibt ( de.wikipedia.org/wiki/Einheitsmatrix). Wenn Du eine beliebige Population mit der Einheitsmatrix multiplizierst, so kommt wieder die ursprüngliche Population heraus.
Das ist vielleicht die Antwort auf die Frage: "Und warum führt dieser weg zum Ziel?"

Gruß
Werner

bamli3 aktiv_icon

16:33 Uhr, 08.11.2015

Ahhh!
Ja stimmt das man die Reihenfolge bei der Multiplikation beachten muss ist eigentlich logisch und hatten wir schon gelernt, danke für die verbesserung.
Und interessanter Hinweis das man auf die Einheitsmatrix kommt und mit dieser zum gewünschten Ergebnis.
Vielen Dank! Und danke für die Zusatzinformationen, werde sie mir anschauen.

MfG, sehr gut geholfen.

1265984

1265273

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?