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besondere Primzahlen

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Elementare Zahlentheorie

Primzahlen

Tags: Elementare Zahlentheorie, Primzahl

lars174 aktiv_icon

10:10 Uhr, 23.05.2018

Hallo die Aufgabe lautet :
a)
Zeigen sie ;Sind

m, n \in N

so gibt es eine Primzahl der Form

p = 4 m + 3

mit :

p ∣ 4 n + 3

wenn mandas Produkt betrachtet :

(4 m + 3) * (4 k + 1) = 4 (4 m k + m + 3 k) + 3

folgt ja auch das es so eine Zahl

4 m + 3

gibt die

4 n + 3

teilt aber wiso soll dieses

4 m + 3

dann eine Primzahl sein ?

b)Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 4n + 3,

n \in N

, gibt.
Hinweis: Angenommen es gibt nur endliche viele solche Primzahlen p1,. . . , pn.
Betrachten Sie :

p 1 * . . * p n + 2

falls n gerade

p 1 * . . * p n + 4

falls n ungerade

Okay angenommen es gäbe nur endliche viele Primzahlen der Form

4 n + 3

die Menge

K = {p_{1}, . . ., p_{n}}

soll diese Primzahlen beeinhalten .

eine zahl

N = p 1 * . . * p n + 2 \geq 3 + 2 = 5

wenn die Anzahl der Primfaktoren gerade ist dann hat

N = (4 m + 3) (4 n + 3) + 2 = 4 k + 1 + 2 = 4 k + 3

dh aber es gibt ein pi sodass

p_{i} ∣ N

und auch

p i ∣ p 1 * . . . P n

dh insbesondere dass auch

p i ∣ N - p 1 * . . * p n = 2

was aber nicht sein kann

eine Zahl

p 1 * . . * p n + 4 \geq 3 + 4 = 7

enn die Anzahl der Primfaktoren ungerade ist dann hat

N = (4 m + 3) (4 n + 1) + 4 = 4 k + 3 + 4 = 4 (k + 1) + 3

dh aber es gibt ein pi sodass

p_{i} ∣ N

und auch

p i ∣ p 1 * . . . P n

dh insbesondere dass auch

p i ∣ N - p 1 * . . * p n = 4

was aber nicht sein kann

stimmt das so ? bzw fehlt mir bei a ) ?
bzw kann ich b nicht einfacher machen ohne Fallunterscheidung , vl wenn

N = 4 p 1 . . p n - 1

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

ledum aktiv_icon

16:04 Uhr, 23.05.2018

Hallo
in

a)

du weisst es gibt Primzahlen der Form

4 m + 3, (

natürlich nicht für alle

m

aber dass es auch nicht -Primzahlen der Form gibt ist egal) du zeigst dass es dazu ein

n

gibt mit

4 m + 3 | 4 n + 3

du brauchst das dann in

b)

Beispiel

m = 1

:-P)=4+3=7

p

teilt

4 \cdot 8 + 3

b)

iim Anfang deines Beweises stehen

n

Primzahlen der Form

4 m + 3,

im Beweis dann plötzlich nur noch 2?
was soll die Zeile

N = (4 m + 3) (4 n + 3) + 2 = 4 k + 1 + 2 = 4 k + 3

denn zeigen?
entsprechend der zweite Teil.
geh noch mal den Beweis für unendlich viele Primzahlen durch!
Gruß ledum

lars174 aktiv_icon

23:20 Uhr, 23.05.2018

zu a)
ich dachte mir wegen den Resten , 4k+0,4k+1,4k+2 , 4k+3 , 4,5,.. fallen wieder in dieses Schema , wobei 0 und 2 wegfällt da 4n+3 eine ungerade Zahl ist , können die Primfaktoren nur die Form 4k+1 oder 4k+3
und dann mit Widerspruch :

angenommene es gäbe nur Primfaktoren der Form : 4k+1
dann folgt

(4 k_{1} + 1) (4 k_{2} + 1) = 4 n + 1

woraus nicht das gewünschte 4n+3 folgen kann , also gibt es so einen Primfaktor der Form 4m+3 .

dies hab ich in b wieder benutzt :

und mir gedacht wenn die Anzahl der Primfaktoren gerade ist dann sollte es eben wieder so ein Produkt sein wie

(4 k_{1} + 3) (4 k_{2} + 3)

was eben eine Zahl 4n+1 liefert
und jedes dieser Produkte ergibt dann wieder ein 4k+1 und im Ganzen dann ein 4n+1 .
mit dem Faktor 2 dahinten hat man dann 4n+3 , welche von einem p=4m+3 geteilt wird ...... So kann ich mit der Differenz einen Widerspruch erzeugen .

so hab ich mir das auch beim 2. Fall gedacht nur das dann das Produkt ähnlich ausschaut .

ermanus aktiv_icon

00:03 Uhr, 24.05.2018

Hallo,
deine Gedanken zu a) sind vollkommen richtig.
Wenn

4 n + 3

nicht selbst schon Primzahl ist, muss es einen Teiler der Form

4 m + 3 < 4 n + 3

besitzen. Nun wendet man diesen Schluss auf

4 m + 3

an ...
Nach endlich vielen Schritten hat man einen Primteiler der Form

4 r + 3

von

4 n + 3

gefunden.
Gäbe es jeweils einen solchen Teiler nicht, so würde die Ausgangszahl - wie du bewiesen hast -
die Gestalt

4 n + 1

haben müssen.
Gruß ermanus

lars174 aktiv_icon

10:37 Uhr, 24.05.2018

Hallo ,
achja wenn 4n+3 eine Primzahl ist so setze ich m=n einfach oder?
Ah wir haben festgestellt es gibt einen Teiler 4m+3 und du meinst da das 4m+3 lediglich ein Teiler ist aber nicht zwingendermaßen eine Primzahl ist , so folgt nach :
sagen wir k schritten ,dessen jeweilige Teilung durch ein 4k+3 , wodurch am ende nur noch ein 4r+3 überbleibt was dann eine Primzahl ist , da es nicht mehr weiter geteilt werden kann .

und bei b) passt das auch?

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