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bestimmung des linken eigenvektors einer matrize

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, lösen eines Matrizenproduktes, Matrizenrechnung

orchidee aktiv_icon

22:00 Uhr, 16.05.2009

Ich muss den linken Eigenvektor des höchsten Eigenwertes der Matrize $[0101 1001 1010 0001]$ berechnen.Der höchste Eigenwert ist 1.Ich habe die Formel für den linken eigenvektort $v^{t} (A - λ E) = 0$ .Daraus ergibt sich dann $(v_{1} v_{2} v_{3} v_{4}) [- 1101 1 - 101 1000 0000]$ .Kann mir jemand helfen,dass zu lösen?ich weiß nicht wie ich das machen soll.Zumal die Determinante 0 ist und somit auch keine Inverse existiert.Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

11:20 Uhr, 17.05.2009

okay:-) dann mal ganz von vorne:

gegeben:

Matrix

A \in n \times n

(Eigen)vektor

v_{1} \in n \times n

Annahme:

A \cdot v_{1} = λ v_{1}

nun kann man rechnen:

A \cdot v_{1} = λ E \cdot v_{1}

A \cdot v_{1} - λ E \cdot v_{1} = 0

(A - λ E) \cdot v_{1} = 0

So ein Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn die Determinante 0 ist.
Stell dir die Matrix A als

(4)

Spaltenvektoren vor.

a, b, c, d \in 4 \times 1

A = [a, b, c, d]

um lineare abhängigkeit zu prüfen bildet man ja die vektorkette:

k a + l b + m c + n d = 0

wenn man sich das mal komponentenweise aufschreibt, wird man zu der nächsten darstellung gelangen:

A \cdot {[k l m n]}^{T} = 0

nun weiß man ja, dass es in diesem fall für den vektor

{[k l m n]}^{T}

nur dann eine lösung, die nicht der nullvektor ist, gibt, wenn die spaltenvektoren linear abhängig sind. und linear abhängig sind vektoren, wenn ihre determinante

= 0

ist

daher

det (A - λ E) = 0

hat man nun die eigenwerte, müssen die eigenvektoren bestimmt werden.

dazu muss man das gleichungssystem nun lösen.
folgende überlegung:

sind 2 vektoren im

R^{2}

linear abhängig, reicht ein parameter aus, um die geschlossene vektorkette zu bilden.

sind 3 vektoren im

R^{3}

linear abhängig, reichen 2 parameter aus, um die geschlossene vektorkette zu bilden

und es reichen auch 3 parameter aus, um mit 4 im

R^{4}

abhängigen vektoren eine geschlossene kette zu bilden.

aber zuerst einmal wendet man den gauß algorithmus an und spätestens beim letzten schritt würden sich die letzten beiden zeilen auslöschen, weil man eben nur 3 und nicht 4 paremeter braucht.

so könnte man nun die letzte zeile streichen und die vierte spalte samt variable auf die rechte seite bringen.

was man bekommt ist:

ein lösbares

3 \times 3

gleichungssystem mit einem

3 \times 1

lösungsvektor, welcher abhängt von der vierten variable, die man nun frei wählen kann.

es kann auch passieren, dass sich mehrere zeilen auslöschen, dann reduziert man das system eben weiter und wählt mehrere variablen aus.

orchidee aktiv_icon

17:28 Uhr, 17.05.2009

vielen dank für deine ausführliche antwort, aber ich habe kein problem damit, die normalen eigenvektoren zu bestimmen, sondern mit diesem linken eigenvektor.da muss mann das gleichungssystem wohl umgekehrt aufstellen oder so, dass schaff ich halt nicht zu lösen, kannst du mir da vielleicht helfen? normale eigenvektoren sind wie gesagt kein problem.danke

orchidee aktiv_icon

17:28 Uhr, 17.05.2009

anonymous

10:32 Uhr, 18.05.2009

achso.. linker eigenvektor ist wohl so rum:

x^{T} \cdot (A - λ E) = 0

was aber das gleiche ist wie

{(A - λ E)}^{T} \cdot x) = 0

und dann lässt sich das wieder normal berechnen

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