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beweis euklidischer UVR orthogonales komplement

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: orthogonal komplement, Vektorräume

TMa44 aktiv_icon

23:06 Uhr, 03.02.2009

V sei euklidischer Vektorraum mit Untervektorräumen U,W. Das orthogonale Komplement von U ist $U^{⊥} : = {v \in V | < v, u > = 0 \forall u \in U}$ . Zeigen Sie, dass $U^{⊥}$ ein Untervektorraum ist, und dass ${(U + W)}^{⊥} = U^{⊥} \cap W^{⊥} u n d {(U \cap W)}^{⊥}$ $\subset$ $U^{⊥} + W^{⊥} g i l t .$

^Dieses "C" ist umgedreht, also

umgekehrt enthalten.

(Bei endlicher Dimension gilt auch hier die Gleichheit, aber das ist etwas komplizierter.)

Ich suche eine Lösung für diese Aufgabe, am Besten mit Erklärung...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Cuweba aktiv_icon

23:41 Uhr, 03.02.2009

Weise einfach die Unterraumkriterien nach, um zu zeigen, dass

U^{⊥}

ein Unterraum ist. Musst dabei, nur die Eigenschaften der orthogonalen Vektoren beachten.

TMa44 aktiv_icon

00:03 Uhr, 04.02.2009

Danke dir!

Die Krierien sind doch:

a) Null Vektor enthalten

b) nicht leer

c) Abgeschlossen .... oder?

Rentnerin

21:44 Uhr, 04.02.2009

Hallo,

bist Du immer noch an einer Lösung hier interessiert, oder ist die Aufgabe schon erledigt?

Gruß Rentnerin

TMa44 aktiv_icon

22:14 Uhr, 04.02.2009

Ja sehr sogar. Ich sitze bis Donnerstag früh über der Aufgabe.

Im Moment verfolge ich folgenden Ansatz:

Mit Hilfe des Basisergänzungssatzes muss vom orthogonalen, angeblichen UVR, auf

U

geschlossen werden, sodass U+u(ort)=V. Demnach könnte

u

der Nullvektor sein. Ich weiß allerdings ncht, ob das so geht und wie ich das mathematisch korrekt formulieren kann.

Bin für jeden Tip dankbar

Rentnerin

22:45 Uhr, 04.02.2009

Na dann mal los!

Behauptung:

U^{⊥}

ist UVR von V.
Beweis: Nach Definition von

U^{⊥} = {v \in V ∣ < v, u > = 0 \forall u \in U}

gilt:
i)

\vec{0} \in U^{⊥}

, da

< \vec{0}, u > = 0 \forall u \in U

,
ii) mit

v_{1}, v_{2} \in U^{⊥}

folgt

< v_{1} + v_{2}, u > = < v_{1}, u > + < v_{2}, u > = 0 + 0 = 0 \forall u \in U

und damit

v_{1} + v_{2} \in U^{⊥}

,
iii) mit

v \in U^{⊥}, λ \in K

folgt

< λ \cdot v, u > = λ < v, u > = λ \cdot 0 = 0 \forall u \in U

und damit

λ \cdot v \in U^{⊥}

.

Ist bisher alles klar?

TMa44 aktiv_icon

23:07 Uhr, 04.02.2009

Ja, soweit super. Ähnlich weit bin ich auch schon. Allerdings mit anderer Herangehensweise. Hilft mir aber sehr!

Jetzt ist nur noch die Frage wie zu zeigen ist, dass ${(U + W)}^{⊥} = U^{⊥} \cap W^{⊥} u n d W^{⊥} + U^{⊥} \subset {(U \cap W)}^{⊥}$

Das ist ja der zweite Teil der Aufgabe.

Meine Lösungsidee:

$v \in {(U + W)}^{⊥} \overset{n . V .}{\Rightarrow} v \in (U^{⊥} \cap W^{⊥}) \Rightarrow v \in U^{⊥} u n d v \in W^{⊥}$

und

$v ⊥ U, v ⊥ W \Rightarrow v \in {(U + W)}^{⊥} \Rightarrow v ⊥ (U + W)$

Rentnerin

23:20 Uhr, 04.02.2009

Machen wir es einfach mal korrekt!

Behauptung:

(U + W)^{⊥} = U^{⊥} \cap \ W^{⊥}

Beweis:

\Rightarrow

Sei also

v \in (U + W)^{⊥}

, dann gilt für alle Kombinationen

u + w

mit

u \in U, w \in W

< v, u + w > = 0

, also auch für alle

u \in U, w = 0

und für alle

w \in W, u = 0

< v, u > = 0, < v, w > = 0

, also

v \in U^{⊥} \land v \in W^{⊥}

und damit

v \in U^{⊥} \cap \ W^{⊥}

\Leftarrow

Sei nun

v \in U^{⊥} \cap W^{⊥}

, also

v \in U^{⊥} \land v \in W^{⊥}

und sei

u + w \in U + W

beliebig, dann gilt:

< v, u + w > = < v, u > + < v, w > = 0 + 0 = 0

und damit

v \in (U + W)^{⊥}

Einverstanden?

TMa44 aktiv_icon

23:32 Uhr, 04.02.2009

Ja genial, soweit verstanden. Aber wieso schreibst du

${(U + W)}^{⊥} = U^{⊥} \cap ∖ W^{⊥}$ und nicht ${(U + W)}^{⊥} = U^{⊥} \cap W^{⊥}$ ?

Rentnerin

23:44 Uhr, 04.02.2009

Uuuuuuups! Der Strich muss natürlich weg.

Dafür jetzt der Rest.

Behauptung:

U^{⊥} + W^{⊥} \subset (U \cap W)^{⊥}

Beweis:
Sei also

v \in U^{⊥} + W^{⊥}

, dann gibt es

v_{1} \in U^{⊥}, v_{2} \in W^{⊥}

mit

v = v_{1} + v_{2}

. Betrachte nun ein beliebiges

x \in U \cap W

, dann folgt:

< v, x > = < v_{1} + v_{2}, x > = < v_{1}, x > + < v_{2}, x > = 0 + 0 = 0

wegen

x \in U \land x \in W

, also ist

v \in (U \cap W)^{⊥}

TMa44 aktiv_icon

23:54 Uhr, 04.02.2009

Dich schicken die Götter! Vielen Dank! Damit ist mir das klar!

wirklich super nett von dir, dass du mir so geholfen hast!

viele, liebe Grüße
TM

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