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riemannsche vermutung

Universität / Fachhochschule

Tags: Riemann

ireland aktiv_icon

15:18 Uhr, 27.01.2010

hallo

kann mir jmd die riemannsche vermutung in einfachen worten nahebringen.

ich hab da leider nichts mir verständliches gefunden. weiss nur das es um
primzahlverteilung geht die man anhand der nullstellen einer gewissen riemann
funktion findet vll ist schon das falsch

lieben gruss ireland

hagman aktiv_icon

16:44 Uhr, 27.01.2010

Nee, ist schon richtig.
"Bekanntlich" ist

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

und auch für andere Exponenten

k

ist

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{k}}

konvergent und eine interessante Zahl (insb. für gerades

k

wieder mit

π

verbunden).
Mann kann allgemein sogar

ζ (s) := \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}

als Funktion in

s

betrachten.
Diese Reihe konvergiert allerdings nur für

s > 1

.
Man kann sogar komplexe Exponmenten erlauben, also statt

ζ (s)

dann

ζ (σ + i t)

betrachten mit

σ, t \in ℝ

. Das konvergiert wiederum nur für

σ > 1

.
Aber mit den Mitteln der Funktionentheorie kann man

ζ

nach (fast) ganz

ℂ

fortsetzen.

Warum Nullstellen? und warum Primzahlen?
Zum einen:
Die Lage der Nullstellen von

ζ

zu kennen, ist interessant, weil man im Prinzip allein aus ihnen wieder die Funktion rekonstruieren kann.
Zum anderen:
Man rechnet leicht nach (muss sich natürlich über Konvergenz Gedanken machen), dass

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p} (1 + p^{- s} + p^{- 2 s} + ...) = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{s}}

Die Riemannsche Vermutung macht nun Aussagen über di Nullstellen der (fortgesetzen) Funktion

ζ :

Es ist bekannt, dass

ζ (- 2) = ζ (- 4) = ζ (- 6) = ... = 0

(sog. triviale Nullstellen).
Über alle weiteren Nullstellen ist bekannt, dass sie von der Form

s = σ + i \cdot t

mit

0 < σ < 1

sind (=im kritischen Streifen liegen). Außerdem ist dann mit

s

stets auch

\bar{s}, 1 - s

und

1 - \bar{s}

eine Nullstelle.
Die Riemannsche Vermutung lautet, alle Nullstellen im kritischen Streifen sogar auf der kritischen Linie liegen (von der Form

\frac{1}{2} + i t

sind).
Ob die nun wirklich alle da liegen oder vielleicht einige knapp daneben (aber ja immerhin noch in dem kritischen Streifen!) scheint auf den ersten Blick keinen großen Unterschied zu machen, aber tatsächlich würde - wenn die Vermutung stimmt - doch so einiges an Folgereungen sich ergeben.
Beispielsweise ist die Anzahl der Primzahlen

\leq n

ungefähr

\frac{n}{ln n}

(bzw. es gibt eine andere FUnktion, die noch besser aproximiert). Man kann sogar einigermaßen den Fehler dieser Approximation abschätzen. Aber wenn die RH stimmen sollte, kann man beispielsweise diesen Fehlerterm noch viel genauer abschätzen.

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