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Beweis zur Einschluss-Ausschluss-Formel

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Unabhängige Ereignisse, Vereinigung

Mo007 aktiv_icon

21:33 Uhr, 29.11.2014

Hallo allerseits,

ich habe einen Beweis geschrieben und möchte gerne wissen, ob dieser (vor allem formal) so richtig ist:

Es seien

E_{1}, . . ., E_{n}

unabhängige Ereignisse.

Zu zeigen:

P (E_{1} \cup E_{2} \cup . . . \cup E_{n}) = 1 - \prod_{k = 1}^{n} (1 - P (E_{k}))

Beweis:

Wir wissen aus der Vorlesung, dass für die linke Seite gilt:

P (E_{1} \cup E_{2} \cup . . . \cup E_{n}) = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} \sum_{1 \leq i 1 < i 2 < . . . < i k \leq n} (E_{i 1} \cap E_{i 2} \cap . . . \cap E_{i k})

Es bleibt daher zu zeigen, dass für die rechte Seite gilt:

1 - \prod_{k = 1}^{n} (1 - P (E_{k})) = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} \sum_{1 \leq i 1 < i 2 < . . . < i k \leq n} (E_{i 1} \cap E_{i 2} \cap . . . \cap E_{i k})

1 - \prod_{k = 1}^{n} (1 - P (E_{k}))

= 1 - (1 - P (E_{1})) * (1 - P (E_{2})) * . . . * (1 - P (E_{n}))

= 1 - [1 - P (E_{1}) - . . . - P (E_{n}) + P (E_{1}) * P (E_{2}) + . . . + P (E_{n - 1}) * P (E_{n}) - P (E_{1}) * P (E_{2}) * P (E_{3}) - . . .

- P (E_{n - 2}) * P (E_{n - 1}) * P (E_{n}) + . . . - (- 1)^{n + 1} * P (E_{1}) * P (E_{2}) * . . . * P (E_{n})]

= 1 - 1 + P (E_{1}) + . . . + P (E_{n}) - P (E_{1}) * P (E_{2}) - . . . - P (E_{n - 1}) * P (E_{n}) + P (E_{1}) * P (E_{2}) * P (E_{3}) + . . .

+ P (E_{n - 2}) * P (E_{n - 1}) * P (E_{n}) - . . . + (- 1)^{n + 1} * P (E_{1}) * P (E_{2}) * . . . * P (E_{n})

Und da die Ereignisse

E_{1}, . . ., E_{n}

unabhängig sind, folgt:

= P (E_{1}) + . . . + P (E_{n}) - P (E_{1} \cap E_{2}) - . . . - P (E_{n - 1} \cap E_{n}) + P (E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}) + . . .

+ P (E_{n - 2} \cap E_{n - 1} \cap E_{n}) - . . . + (- 1)^{n + 1} * P (E_{1} \cap E_{2} \cap . . . \cap E_{n})

= \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} \sum_{1 \leq i 1 < i 2 < . . . < i k \leq n} (E_{i 1} \cap E_{i 2} \cap . . . \cap E_{i k})

, was zu zeigen war.

Kann ich das so schreiben oder hab ich mich da vielleicht doch zwischendrin irgendwo vertan? Ich wäre für jeden Tipp dankbar. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mo007 aktiv_icon

12:34 Uhr, 30.11.2014

Hm, hat keiner von euch eine Meinung dazu? :-(

leimonsergaij aktiv_icon

12:45 Uhr, 30.11.2014

Es sieht gut aus. Vielleicht ein bisschen kompliziert notiert. Wie wäre es mit:

P (E_{1} \cup ...

\cup E_{n}) = P (⋃_{i = 1}^{n} E_{i}) = 1 - P (⋂_{i = 1}^{n} E_{i}^{C}) = 1 - \prod_{i = 1}^{n} P (E_{i}^{C}) = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - P (E_{i}))

leimonsergaij aktiv_icon

12:45 Uhr, 30.11.2014

/edit: irgendwie ist hier ein Doppelpost entstanden. Bitte Löschen.

Mo007 aktiv_icon

23:24 Uhr, 30.11.2014

Hallo leimonsergaij,

zugegeben ist dein Beweis natürlich wesentlich eleganter aber es ging mir auch darum, diese Formel für n Elemente richtig ausschreiben zu können. Und wenn du meinst, dass es ganz gut aussieht, bin ich beruhigt. ;-) Vielen Dank für deine Antwort!

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