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beweise cos(3x) = .. mit komplexe Zahlen

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Komplexe Zahlen

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arget888

arget888 aktiv_icon

18:55 Uhr, 28.09.2010

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Hallo, in der Schule arbeiten wir zurzeit das Thema komplexe Zahlen durch. Und wir haben in der Schule beispiele gerechnet

(cos (2 x) = {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x) ...

.

),

und habe diese nicht verstanden. Zuletzt haben wir

cos (3 x) = {cos (x)}^{3} - 3 \cdot cos (x) \cdot {sin (x)}^{2}

gerechnet, und hoffe, dass mir jemand an diesem Beispiel erklären kann, wie man dies beweist!

mfg Markus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Photon

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19:03 Uhr, 28.09.2010

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Moin, habt ihr die Eulergleichung

e^{i φ} = c o s φ + i \cdot s i n φ

verwendet?

arget888

arget888 aktiv_icon

22:42 Uhr, 28.09.2010

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Ja, auch die eulergleichung haben wir uns aufgeschrieben

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QPhma

QPhma aktiv_icon

00:02 Uhr, 29.09.2010

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Mit der Eulergleichung kann man den Ausdruck für

cos (2 \cdot x)

folgendermaßen bekommen:
Als

φ

setzen wir

2 \cdot x

ein

e^{i \cdot 2 \cdot x} = cos (2 \cdot x) + i \cdot sin (2 \cdot x)

Jetzt kann man die Exponentialfunktion mit Potenzgesetz aber auch anders schreiben:

e^{i \cdot 2 \cdot x} = {(e^{i \cdot x})}^{2} = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{2} = {cos}^{2} (x) + 2 \cdot i \cdot sin (x) \cdot cos (x) - {sin}^{2} (x)

Wenn zwei komplexe Zahlen gleich sind, dann müssen sowohl die beiden Realteile gleich sein, als auch die beiden Imaginärteile. Also gilt

cos (2 \cdot x) = {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

und auch

sin (2 \cdot x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

Nach der gleichen Methode berechnest Du auch den Ausdruck für

cos (3 \cdot x)

. Dazu brauchst Du dann die binomische Formel für die dritte Potenz:

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^{2} + b^{3}

Frage beantwortet

arget888

arget888 aktiv_icon

12:02 Uhr, 29.09.2010

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Meine Rechnung lautet dann

e^{J \cdot 3 \cdot x} = cos (3 x) + j \cdot sin (3 x)

{(e^{j \cdot x})}^{3} = {(cos (x) + j \cdot sin (x))}^{3} = {cos (x)}^{3} + 3 \cdot {cos}^{2} (x) \cdot j \cdot sin (x) - 3 \cdot cos (x) \cdot {sin}^{2} (x) - j \cdot {sin}^{3} (x)

cos (3 x) = {cos}^{3} (x) - 3 \cdot cos (x) \cdot {sin}^{2} (x)

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