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beweise (vollständige induktion!?)
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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bei folgenden zwei aufgaben, weiß ich, dass es sich um lösung mit vollständiger induktion handlt. leider ist mir der entscheidende gedanke noch nicht gekommen, wie ich es tatsächlich beweise: a) Für welche n Element N gilt: 2 hoch n ist größer n hoch 3? b) Man zeige, dass für n=2,3,... gilt: die Summe (summenzeichen) von 1 durch wurzel k von k=1 bis n ist größer als wurzel n. für die hilfe bedanke ich mich schon mal ganz doll! |
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es sei 2^n>n³ mit n€N setze ich beispielsweise die zahl n=1 ein so erhalte ich 2>1 was eine wahre aussage ist also ist n=1 schonmal eine lösung der ungleichung für 2 ist sie aber nicht mehr erfüllt die vollständige induktion ist ja der schluss von n auf n+1 das wird man später sehen für welche n sie erfüllt ist wenn die gleichung für 2^n>n³ erfüllt ist, so ist zu zeigen, dass sie dann auch für 2^(n+1)>(n+1)³ erfüllt ist es ist 2*2^n>(n+1)³ das liegt schonmal nahe, dass 2^(n+1)>2n³ wenn gilt 2n³>(n+1)³ gilt sicher auch 2^(n+1)>(n+1)³ soweit erstmal versuchs mal weiter noch etwas wird hier die anwendung der induktion gefordert? ich finde, dass hier die induktion nicht die beste möglichkeit darstellt |
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erstmal danke für die hinweise. vollständige induktion ist nicht gefordert, aber das war das thema, zu dem die aufgabe gestellt wurde. beim weiterrechnen bin ich ja jetzt zu der folgenden ungleichung gekommen: 2*2^n>n³+n³ ich müsste da jetzt aber zeigen, dass (n+1)³>n³+n³ , was für n=1 und n=2 gilt. das habe ich aber nur durch probieren herausbekommen, was ja nicht als beweis gilt- kann man mir da bitte noch mal helfen? danke! |
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die ungleichung heißt 2n³>(n+1)³ also umgekehrt es ist (n+1)³=n³+3n²+3n+1 2n³>n³+3n²+3n+1 n³>3n²+3n+1 n>3+3/n+1/n jetzt kann man die ungleichung nach oben hin abschätzen und zwar kann 3/n ganz sicher nicht größer als 3 sein und 1/n nicht größer als 1 deswegen ist die gleichung für n>7 sicher erfüllt. natürlich kann sie für kleinere n trotzdem erfüllt sein es war nur eine abschätzung nach oben was wir noch nicht gemacht haben ist der induktionsanfang wenn ich ein n finde für welches die ausgangsgleichung erfüllt ist und größer als 7 ist so erfüllen alle folgenden n ebenfalls die gleichung noch ein hinweis zu 2n³>(n+1)³ du hättest auch die dritte wurzel ziehen können 3.WURZEL(2)n>n+1 n>1/(3.wurzel(2)-1)=ca.3,85=ca.4 also n=>4 bei wurzel und ungleichungen muss man aber generell vorsichtig sein, da radizieren und potenzieren keine äquivalenzumformung ist z.B ist 5>-6 quadrieren ergibt 25<36 also ändert sich das ungleichheitszeichen, also da muss man vorsichtig sein ansonsten das erste n welches die ungleichung erfüllt und größer als 4 bzw. 7 ist ist die zahl 10 von den zahlen 1 bis 9 erfüllt zusätzlich die zahl 1 diese ungleichung also alle n>=10 und n=1 |
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| Hey ihr zwei, sorry das ich euch dazwischen funke ;) aber ich habe in etwa das selbe problem. ich möchte herausfinden (ohne probieren ;)) wann n^2<2^n stimmt. bei eurer rechnung versteh ich nciht ganz, wo ihr aufeinmal die 2n^3 hernehmt? also n3*n3, ansonsten ist die aufgabe ja ähnlich.... liebe grüße |
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jepp das kann man auf die gleiche art und weise lösen jedenfalls ist doch bei deinem beispiel jetzt 2^n>n² wenn man den induktionsanfang bereits gemacht hat ist nur noch zu sagen, dass wenn 2^n>n² gilt auch 2^(n+1)>(n+1)² ist nun ist doch 2^(n+1)=2*2^n (1. Potenzgesetz) wenn ich die ungleichung 2^n>n² mit 2 multipliziere erhalte ich doch 2*2^n>2n² oder 2^(n+1)>2n² wenn ich jetzt zeigen kann, dass 2n²>(n+1)² dann muss 2^(n+1)>2n²>(n+1)² gelten und somit ist 2^(n+1)>(n+1)² daher kommt das 2n²>(n+1)² |
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| ich benötige immer noch hilfe bei der aufgabe b) mit dem summenzeichen! |
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ok ich versuch mich mal dran also wenn man zeigen kann, dass Wurzel(n)+1/WURZEL(n+1)>Wurzel(n+1) dann muss die gleichung für alle n>1 gelten bis hierhin erstmal den rest schaffst du wahrscheinlich selbst |
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| das ist mir nun schlüssig, nur bekomme ich ja so auch nciht raus, für welche n elemnt N diese aussage nun zutrifft. also für 2^n>n^2 gilt sie für 1,5,6,7...n und für 2^(n+1)>(n+1)^2 gilt sie für 4,5,6,7...n. aber das muss man doch analytisch irgendwie rausbekommen können und nicht nur durch ausprobieren oder nicht? vielen dank aber schonmal :) |
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| ja gut, danke, soweit war ich ja auch schon. ich weiß aber nicht, wie man beweist, dass wurzel(n²+n) größer als n selbst ist. danke, dass du dich immer so bemühst |
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also wenn ich die ungleichung 2n²>(n+1)² zu n>2+1/n umforme so kann ich abschätzen, dass die gleichung für alle n>3 erfüllt ist wenn ich jetzt ein n finde welches größer als 3 und die ausgangsungleichung erfüllt so erfüllt jedes folgenden n auch diese ungleichung z.B erfüllt n=1 die ungleichung 2^n>n² 2>1 n=1 ist aber nicht größer als 3 also erfüllen nicht zwangsläufig alle folgenden n die ungleichung n=2, 3, und4 erfüllen diese ungleichung ja nicht erst 5 erfüllt wiederum diese ungleichung mit 32>25 die zahl 5 ist größer als 3 also erfüllen alle folgenden n auch diese ungleichung nach der zahl 5 kann es gar kein n mehr geben welches die ungleichung nicht erfüllt. die zahlen von 1 bis 3 musst du deshalb für sich untersuchen und dann die nächste zahl nach 3 finden welche die ungleichung erfüllt |
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nicole quadriere doch die ganze ungleichung das darfst du einfach so machen, ohne dass sich das ungleichheitszeichen verändert |
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| danke, jetzt habe ich diese aufgabe tatsächlichg nicht nur gelöst, sondern auch verstanden |
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| danke, jetzt habe ich diese aufgabe tatsächlichg nicht nur gelöst, sondern auch verstanden |
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