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beweise zufallsvariabel
Universität / Fachhochschule
Erwartungswert
Tests
Verteilungsfunktionen
Wahrscheinlichkeitsmaß
Zufallsvariablen
Tags: Erwartungswert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen
 
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Wir modellieren einen Münzwurf mit als Ergebnismenge, der σ-Algebra {∅,{0},{1},{0,1}} als Ereignismenge und 2 alsWahrscheinlichkeitsmaß. Wir modellieren einen Würfel mit als Ergebnismenge, der σ-Algebra als Ereignismenge und 6 für alle . Machen Sie sich klar, dass damit ein Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig festgelegt ist. Betrachten Sie die Abbildung : , wobei Meine Antwort ist nein, da modulo nicht injektiv ist und für die Umkehrfunktion muss gelten dass sie injektiv sein muss ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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> Meine Antwort ist nein, Ich kann beim besten Willen in der vorgenannten Modellschilderung keine Frage entdecken, die mit "ja" oder "nein" zu beantworten wäre. |
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Wir sollen beweisen dass p eine zufallsvariabel ist und aber Laut Definition der zufallsvariabel muss eine unkehrfunktion existieren aber tut es ja nicht in dem Falle ? |
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Fürchterliches Durcheinander - ganz großer Mist ist schon mal, dass du zwei verschiedene W-Maße und zudem auch noch die Potenzmenge alle drei mit dem selben Symbol bezeichnest, das ist gewissermaßen der Symbol-Supergau. :( Und weil das noch nicht reicht, gibt es noch ein viertes (diesmal wenigstens klein geschrieben) als Zufallsgröße. ;-) Ich schildere es mal so, wie ich es jetzt verstehe: Du betrachtest als Wahrscheinlichkeits-Raum mit Grundmenge und dessen Potenzmenge , und darauf das Laplacesche Wahrscheinlichkeitsmaß für alle . (Dieser W-Raum repräsentiert den Wurf mit einem ungezinkten Würfel.) Nun hast du eine Zufallsgröße definiert durch . Ich nehme an, es soll nun nachgewiesen werden, dass die Verteilung der Zufallsgröße jener einer ungezinkten Münze entspricht, wie du sie am Anfang (allerdings formatierungsmäßig verstümmelt) angegeben hast. D.h., es ist für nachzuweisen. Dabei ist das zugehörige Bildmaß der Zufallsgröße . > aber Laut Definition der zufallsvariabel muss eine unkehrfunktion existieren Unsinn. Anscheinend verwechselst du die Urbild-Abbildung mit einer Umkehrfunktion - letzteres ist hier gewiss NICHT gemeint. Die Urbild-Abbildung existiert hingegen IMMER. Und Fragen der Messbarkeit sind hier auch irrelevant, da die Sigma-Algebra als Potenzmenge von dafür sorgt, dass JEDE Abbildung von in irgendeinen Bildraum messbar ist. ;-) |
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So stand das auf dem Blatt, ich kann es dir gerne zeigen. Wir haben eine andere Definition zu zufallsvariabel denke dass das auch wichtig ist zu wissen? |
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Tja, ich weiß nicht was ich mit deiner Erwiderung anfangen soll. Wenn du dich gesammelt hast, und wirkliches Interesse am Inhalt hast, dann melde dich wieder. |
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Die Aufgabenstellung ist richtig , nun sollen wir beweisen dass p also die Abbildung tatsächlich eine Zufallsvariable ist. Wir müssen zeigen für p (klein p also) mit gilt |
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so ist meine lösung ?  |
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Wenn es nur darum geht, dass eine Zufallsgröße ist: Dafür ist lediglich erforderlich, dass hinsichtlich der zugrunde liegenden Sigmaalgebra messbar ist, d.h. dass für jede Borelmenge das Urbild in liegt. Da im vorliegenden Fall die Potenzmenge von ist, braucht man da gar nichts nachzuweisen: Denn das Urbild ist ja per Definition eine Teilmenge von , und alle diese Teilmengen liegen selbstverständlich in dieser Potenzmenge . Genau das hatte ich im letzten Satz meines vorletzten Beitrags schon mal ausgeführt. Man kann natürlich für das konkrete hier ausführlich darlegen, dass die Urbilder Teilmengen von sind und wie die konkret aussehen (so wie in deinem Scan), aber für den Nachweis der Messbarkeit allein ist das unnötig. P.S.: Ich hatte angenommen, es soll die Münzwurfverteilung von bewiesen werden - wozu sonst die ellenlange Einführung? |
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Okay danke Aufjedendall |
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Ich hätte eine kleine Nachfrage wenn du meinst für jede boerelmenge B! Meinst du damit die echten Teilmengen wie {},{0} und {1} ? |
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Ich hatte von der allgemeinen Definition der Messbarkeit einer reellen Zufallsgröße gesprochen. Da im vorliegenden Fall der Wertebereich von nur ist, gilt einfach , und für dieses gibt es natürlich nur die vier Möglichkeiten . |
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Verstehe also alle teilmengen von dem Wertebereich ? Okay meine Frage ist dann wie saehe das Urbild aus bei p^-1({}) und p^-1({1,0}) und waeren sie dann auch nicht enthalten in A ? |
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Es ist sowie , beide sind trivialerweise in JEDER Sigma-Algebra über enthalten. > und waeren sie dann auch nicht enthalten in ? Ich habe schon zigmal oben erwähnt, dass in dem Fall, dass die Potenzmenge von ist einfache jede, wirklich JEDE Zufallsgröße messbar ist, schlicht und einfach weil jedes Urbild eine Teilmenge von ist und damit auch in diesem enthalten sein MUSS. Das scheint bei dir in einem Ohr reingegangen zu sein und beim anderen sofort wieder raus (wenn überhaupt)... |
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Wir müssen also für jede Boerelmenge also alle Teilmengen von dem Wertebereich überprüfen, ob das Urbild in der Sigma-Algebra ist, und da unsere Sigmaalgebra die Potenzmenge ist, ist die Bedingung erfüllt und somit ist p eine Zufallsvariabel ? so habe ich es verstanden jetzt ? |
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So ist die Definition der Messbarkeit. Da das in den meisten Fällen aber ein ungeheurer Aufwand wäre, genügt es diesen Nachweis nur für alle Borelmengen eines Erzeugendensystems der Borel-Sigma-Algebra zu führen. Ein mögliches Erzeugendensystem ist die Menge der halboffenen Intervalle für alle reellen . (*) Und noch einfacher wird es bei diskreten Zufallsgrößen mit demzufolge höchstens abzählbarer Wertemenge (wie hier im vorliegenden Fall ): Da genügt es bereits für alle nachzuweisen. Obiges (*) ist also eher relevant für stetige Zufallsgrößen. |
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danke :-) |
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