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(biete Gegenleistung;) Stichwort: Zahlengerade, Ungleichung mit Beträgen, ...
Universität / Fachhochschule
Tags: Übriges
 
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anonymous 18:11 Uhr, 01.11.2004  |
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Hallo, vielleicht kann mir ja jemand helfen? - man hat ne Zahlengerade u.a. mit den Punkten 2 und 3. Bestimme die Menge der reellen Zahlen x, deren Abstand von 2 weniger als 3/4 ihres Abstands von 3 beträgt (in 3 Schritten): 1. Aufstellen einer Ungleichung mit Beträgen 2. Lösen der Ungleichung durch Fallunterscheidung 3. Skizzieren der Lösungsmenge auf der Zahlengeraden Bitte, helft mir P.S. als Gegenleistung biete ich Hilfe in Französisch, Latein, Bio, Chemie, Deutsch, ... -nur mathe is nich mein Fach ;-) |
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Hallo Gast nein, bitte keine Gegenleistung in dieser Form! Ein Deutscher und französich, das ist doch ein Widerspruch in sich! Siehe zum Beispiel die Michelin-Werbung! Da lacht sich jeder Schweizer halb tot! Wie wärs aber mit italienisch? Oh nein, lieber auch nicht! Siehe die Maggi-Werbung! So, jetzt aber etwas seriöser: Wie berechnet sich der Abstand einer reellen Zahl x zur Zahl 2? Ja: wenn x >= 2 ist, dann berechnet sich das zu x-2; wenn x <= 2 ist, dann muss man 2-x rechnen, weil der Abstand ja immer positiv sein muss. Diese Fallunterscheidung kann man umgehen, wenn man das mit Betragsstrichen formuliert, nur muss man dann beim Auflösen von Gleichungen oder Ungleichungen die Fallunterscheidung wieder einführen. Der Abstand zwischen x und 2, mit Betragsstrichen, ist also so: |x-2| Entsprechend natürlich der Abstand zwischen x und 3: |x-3| So, jetzt soll der Abstand von der 2 kleiner als 3/4 mal dem Abstand von der 3 sein, also ganz einfach: |x-2| < 3/4 |x-3| Das ist also die gesuchte Ungleichung. Du kannst sie auch, wenn du ebenso wie ich keine Brüche magst, noch mit 4 multiplizieren, dann entsteht: (1) 4*|x-2| < 3*|x-3| Wie oben angetönt, braucht es die Fallunterscheidungen, ob x >= 2 oder <= 2 ist, ebenso ob x >= 3 oder <= 3 ist. Das gibt insgesamt 4 Fälle zu unterscheiden: Fall I) x >= 2 UND x >= 3 Fall II) x >= 2 UND x <= 3 Fall III) x <= 2 UND x >= 3 Fall IV) x <= 2 UND x <= 3 Zum Fall I): hier berechnet sich, wie oben erklärt, |x-2| = x-2 und |x-3| = x-3 Die Ungleichung (1) heisst dann: 4*(x-2) < 3*(x-3) Das kannst du jetzt einfach etwas umformen: 4x - 8 < 3x - 9 x-8 < -9 x < -1 So jetzt sammelst du einfach alles zusammen: x muss >= 2 UND x muss >= 3 UND x muss < -1 sein. Die ersten zwei Bedingungen, weil wir ja im Fall I) sind, die 3. Bedingung, weil wir die Ungleichung so aufgelöst haben. Du überlegst leicht, dass es kein x gibt, das die zusammengesammelten Bedingungen erfüllt (es soll ja einerseits >= 2 sein, aber auch < -1). Fall I) trägt also zur Lösungsmenge nichts bei! Dann weiter mit Fall II): x >= 2 UND x <= 3 Hier ist ja |x-3| = 3-x und |x-2| = x-2 womit die Ungleichung (1) so lautet: 4*(x-2) < 3*(3-x) 4x - 8 < 9 - 3x 7x - 8 < 9 7x < 17 x < 17/7 (x < 2 3/7; schwierig vernünftig darzustellen) Jetzt wieder alle Bedingungen zusammensammeln: x >= 2 UND x <= 3 UND x < 17/7 Das kannst du gleich auf der Zahlengeraden markieren (rot anmalen): alle Werte, die zwischen 2 und 17/7 liegen. Die 2 gehört mit zur Menge, die 17/7 aber nicht, weil es < heisst, und nicht <= Dieses Intervall wird also durch Fall II) geliefert. Jetzt weiter zu Fall III): x <= 2 UND x >= 3 Hier erübrigt sich ein Auflösen der Ungleichung, weil es ja schon gar kein x gibt, das die Bedingungen für Fall III) erfüllt. Es gibt keine reelle Zahl, die zugleich <= 2 und >= 3 ist! Dann also noch weiter zum Fall IV): x <= 2 UND x <= 3 Hier gilt: |x-2| = 2-x und |x-3| = 3-x Somit heisst die Ungleichung (1): 4*(2-x) < 3*(3-x) Weiter aufgelöst: 8 - 4x < 9 - 3x 8 < 9 + x -1 < x x > -1 Wieder alle Bedingungen zusammengesammelt: x <= 2 UND x <= 3 UND x > -1 Das sind alle Werte zwischen -1 und 2, wobei auch hier die Zahl -1 nicht zur Lösungsmenge gehört, nur die Zahlen, die > -1 sind. Auch diesen Bereich kannst du auf der Zahlengeraden markieren. Gesamthaft hast du also das offene Intervall zwischen -1 und 17/7 Das wird, je nach Konvention, so dargestellt: (-1,17/7) (runde Klammern bedeuten offen, eckige bedeuten geschlossen) oder aber so: ]-1,17/7[ (hier wird die Unterscheidung zwischen offen und geschlossen mittel der eckigen Klammern realisiert; geschlossen wäre es so: [-1,17/7]) Mit lieben Grüssen Paul |
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anonymous 18:51 Uhr, 03.11.2004 |
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Hallo Paul, deine Antwort hat mich jetzt aber umgehauen. Vielen, vielen Dank!!!! Mathe is wohl dein Spezialgebiet? Mir liegt's leider überhaupt nicht. Außerdem dachte ich, dass mir das auch nach der Schule nicht mehr unterkommt ... aber... -naja, was soll's. Irgendwie werde ich die 2 Semester schon hinter mich bringen. Sag' mal könnte ich mich eventuell das nächste Mal direkt an dich wenden oder bist du sehr im Stress? Wenn es klappen würde, wäre das super-genial! Aber vielleicht hast du ja selbst genug zu tun...:-( ...aber vielleicht ... Nochmal vielen Dank für die beeindruckende Lösung! Tschüss dein <Gast> |
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anonymous 20:08 Uhr, 03.11.2004 |
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Das ist leider das Problem. Viele denken nachm Abi "Ja, nie wieder Mathe", aber das wirst du fast nirgendwo haben... Ich finds schade, dass Mathe so abschreckt, weil es meiner Meinung nach die schönste und eleganteste Wissenschaft ist, bloß leider schon den Ruf hat, furchtbar schwer zu sein. Wieso sollte man sich dran drauf einlassen wenns eh alle schwer finden? Da liegt das Problem, nicht an der Mathematik. Sie hat leider einen Ruf, der ihrer nicht gerecht wird, der aber viele abschreckt, da es ja etwas mit extra-Arbeit zu tun hat... Aber das ist ja nun wieder ein ganz anderes Problem und würde ne ganz andere Diskussion herbeiführen (was ja auch mal nicht unbedingt so schlimm wäre...)... Gruß Christina |
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Hallo Gast ja, du darfst ohne Weiteres Fragen direkt an mich stellen. Meine Arbeitsbelastung schwankt zur Zeit stark. Wenn du aber deine Fragen nicht zu kurzfristig stellst, sollte sich aber schon immer etwas Zeit finden. Aber: über Wahrscheinlichkeitsrechnung weiss ich nicht allzuviel. Also bitte keine Fragen in die Richtung. Und ich brauch ja auch keine Gegenleistung ;-) (Ich hoffe, du habes mich diesbezüglich aber nicht zu ernst genommen!) Mit lieben Grüssen Paul |
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