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bijektive Abbildung auf Menge der UVR

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: orthogonalität, Vektorraum

Hida142 aktiv_icon

20:46 Uhr, 21.05.2019

Folgende Aufgabe beschäftigt mich und ich finde keine Lösung:

V

sei endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum

Zeigen Sie, dass die Zuordnung

U \to U

orthogonal eine bijektive Abbildung auf der Menge der Untervektorräume auf

V

ist.

Kann mir jemand helfen, ich bekomme es nicht hin

\frac{:}{}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

21:19 Uhr, 21.05.2019

Hallo,

fangen wir mal mit der Surjektivität an: Das bedeutet doch: Gibt es zu jedem Unterraum

W \subseteq V

einen Unterraum

U

mit

U^{⊥} = W

? Darauf gibt es eine naheliegende Antwort. Wenn Du Dies nicht siehst, zeichne Dir mal im

ℝ^{2}

einen Unterraum und dazu seinen Orthogonalraum und dazu wiederum seinen Orthogonalraum

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

08:15 Uhr, 22.05.2019

Hallo,

müsste

(U^{⊥})^{⊥} = U

(für

U \leq V

) nicht ausreichen?
Daraus folgen doch Injektivität und Surjketivität sofort.

Mfg Michael

Hida142 aktiv_icon

11:19 Uhr, 22.05.2019

Könntest du mir mal zeigen, wie genau ich das aufschreiben sollte?

michaL aktiv_icon

11:57 Uhr, 22.05.2019

Hallo,

beweise zunächst, dass in endlich dimensionalen Vektorräumen

V

die Gleichung

(U^{⊥})^{⊥} = U

gilt.

Mengengleichungen der Art

A = B

wie diese, beweist man (sofern einem nichts besseres zur Verfügung steht) nach Inklusionen getrennt, also erst

A \subseteq B

, dann

A \supseteq B

.
Hier also

(U^{⊥})^{⊥} \subseteq U

und

(U^{⊥})^{⊥} \supseteq U

, wobei letztere micht schwierig ist.
Wenn es dir hilft, kannst du eine orthogonale Basis von

U

zu einer orthogonalen Basis von

V

ergänzen (Existenz einer Basis, Basisergänzungssatz, Gram-Schmidt).

Wenn du beide Inklusionen bewiesen hast, sind Injektivität und Surjektivität daraus leicht abzuleiten.
Zeig doch erst einmal die Mengengleichheit hier!

> Könntest du mir mal zeigen, wie genau ich das aufschreiben sollte?

Ja, deine Gedanken zu mathematisieren, wird nicht schwierig sein, wenn es denn nur der Formalismus ist. Wenn du aber keine Gedanken hast, dann wird's schwierig.

Mfg Michael

Hida142 aktiv_icon

13:30 Uhr, 22.05.2019

Ach so nein, da haben wir uns falsch verstanden.

Diesen Beweis muss ich nicht durchführen, der ist gegeben ( Vorlesung).

Aber ich weis nicht ganz genau wie ich das anwenden soll.

Mein Ansatz zur Surjektivität:

Für alle

v \in U

orthogonal gibt es

min

. ein

x \in U : v = f (x)

f (x) \in U

orthogonal auch gilt ja

v \in U

orthogonal

So gilt:

Für alle

u \in U : < v, u > = 0

Für alle

u \in U : < f (x), u > = 0

Naja und offensichtlich ex. zu jedem

v

ein

x

sodass

v = f (x)

geht dass so?

oder wie wolltest du das machen?

Iamanonym1

12:22 Uhr, 23.05.2019

Hallo,
Ich würde gerne auch wissen, wie denn die Lösung dazu aussieht.

Lg

ermanus aktiv_icon

12:46 Uhr, 23.05.2019

Hallo,
seid ihr denn mit

(U^{⊥})^{⊥} = U

durch?
Sei

W

die Menge aller Unterräume von

V

.
Ihr sollt zeigen, dass die Abbildung

F : W \to W, U \mapsto U^{⊥}

bijektiv ist.
Die obige Gleichung besagt

F \circ F = i d_{W} .

Jetzt braucht ihr nur eure Kenntnisse aus der Mengenlehre
zu aktivieren ;-)
Gruß ermanus

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