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Hallo, kann mir jemand bei den Aufgaben helfen?
1. Sei ∗ ) eine Gruppe. Für fixiertes Element a ∈ definieren wir die Abbildung → durch ∗ .
Zeigen Sie, dass die Abbildung bijektiv ist.
2. Sei ∗ ) eine Gruppe. Für fixiertes Element a ∈ definieren wir die Menge ∈ ∗ ∗ .
Zeigen Sie, dass ∗) eine Untergruppe von ∗ ) ist.
LG
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo,
wo ist das Problem bei der 1.? Weißt du, welche Axiome geprüft werden müssen, damit sich eine Abbildung bijektiv nennen darf?
Mfg Michael
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Hallo,
Ich brauche bei einen Ansatz, damit ich wirklich weiß, wie ich die Aufgabe lösen soll.
Bei bin ich mir nicht wirklich sicher, wie ich das zeigen soll.
LG
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Hallo,
ok, ein Ansatz findet sich, wenn du hier erst einmal alle Axiome nachschlägst, die eine Abbildung erfüllen muss, damit sie als bijektiv gilt.
Danach kümmern wir uns um 2..
Mfg Michael
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Hallo,
Meinst du die Axiome: Abgeschlossenheit, Assoziativität, Neutrales Element, Invereses Element und Kommutativität?
LG.
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Hallo,
nein. Es geht um die Abbildungen und wann sie bijektiv sind. Schau doch einfach in deiner Mitschrift nach. Es wundert mich wenig, dass du keinen Ansatz findest, wenn du nicht weißt, was das ist.
Mfg Michael
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Hallo, ich habe jetzt versucht zu lösen:
Injektivität: Seien ∈ dann folgt für die Injektivität: (Erweitern mit dem Inversen zu (Definition neutrales Element anwenden) Abbildung ist injektiv.
Surjektivität: Sei ∈ dann folgt für die Surjektivität: ∀ ∈ ∃ ∈ (Erweitern mit Inversen zu (Definition neutrales Element) Ein solches existiert, also folgt die Surjektivität.
Die Abbildung ist surjektiv und Injektiv, daraus folgt dass die Abbildung bijektiv ist.
Was sagst du dazu? LG
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Hallo,
Ja, ich hab das mit den Gruppenaxiomen verwechselt. Sorry :-)
LG
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Hallo,
sieht korrekt aus. Der Weg von "kann mir jemand bei den Aufgaben helfen?" zu dieser Lösung ist aber ein weiter! Sicher, dass dir das allein eingefallen ist?
Nun zu 2.): Welche Axiome ...?
Mfg Michael
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Hallo,
Bei hab ich mir die Sachen näher angeschaut und dann hat es bei mir Klick gemacht :-) Bei Ich vermute mal: überlegen, was gelten muss, damit (Za,*) eine Unterguppe von sein kann. Zunächst muss gezeigt, werden dass Za nicht Element der leeren Menge ist. Dann muss nachgewiesen werden, dass die Menge Za eine Teilmenge von ist. Man kann für feste aber beliebige Werte von schnell zeigen (unter Zuhilfenahme der Definition von Za), dass das erfüllt ist. Schließlich muss man noch zeigen, dass ∀g∈G, die Verknüpfung mit dem jeweils inversen Element wieder Element von Za ist.
Oder?
LG
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Hallo,
korrekt.
Mfg Michael
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Hallo,
hast du eine Idee, wie ich das mathematisch korrekt aufschreiben kann?
LG
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Hallo,
um zu zeigen, dass NICHT leer ist, würde es reichen, ein Element anzugeben, dass in der Menge enthalten ist. Denke daran, dass es sich um eine (Unter-)Gruppe handeln soll. Welches Element ist prädestiniert, in enthalten zu sein?
Mfg Michael
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also: „⇒“: Es sei Za ≤ G. Für alle ∈ Za ist a · ∈ Za, . . die Verknüpfung·: × → lässt sich auf eine Verknüpfung · : Za × Za → Za einschränken (ii) Nach Voraussetzung ist (Za , · ) eine Gruppe, hat also insbesondere ein neutrales Element . ein ∈ Za mit · für alle a ∈ Za. Es ist · ist neutral in Za) · ist neutral in und damit folgt, dass ∈ Za (iii) Es sei a ∈ Za beliebig. Da Za eine Gruppe ist, gibt es in Za ein inverses Element a′ ∈ Za mit a′·a wobei wie in (ii) das neutrale Element von Za bezeichnet. Also a′·a . Also ist a′ auch das inverse Element zu . Damit folgt a^−1 = a′ ∈ Za.
„⇐“: Nun setzen wir die Eigenschaften (ii) und (iii) voraus und müssen Za ≤ zeigen.(a) ist genau die Eigenschaft . Die Assoziativität gilt für alle Elemente von und damit erstrecht für alle Elemente von Za, und die Existenz von neutralen und inversen Elementen ergibt sich sofort aus (ii) bzw. (ii).
so ungefähr ? LG
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Hallo, ich glaube, dass du das mit der Untergruppe noch nicht verstanden hast ... Folgende Dinge musst du zeigen:
1. . Das machst du - wie Michael angeregt hat - indem du zeigst. 2. ist bzgl. Gruppenverknüpfung abgeschlossen, d.h. du musst zeigen: . 3. enthält mit jedem seiner Elemente auch dessen Inverses, d.h. .
Gruß ermanus
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Hallo ermanus,
jetzt konkret:
(Za,∗) ist eine Untergruppe von (G,∗).
ii) ∀ ∈ Za : a∗g^−1 ∈ Za.
Beweis: Falls Za = ∅ , dann ist die Behauptung offensichtlich wahr. (i)→(ii) Seien ∈ Za. Dann ist auch g^−1 ∈ Za und somit a∗g^−1 ∈ Za. (ii)→(i) Die Assoziativität ist klar, da ∗ auf assoziativ ist. Wir müssen zeigen, dass (a) ∈ Za ∀ a ∈ Za : a^−1 ∈ Za ∀ ∈ Za : a∗g ∈ Za
zu Wir wählen ein a ∈ Za. Dann gilt ∗ a^−1 ∈ Za. zu Sei ∈ Za. Dann gilt mit und auch g^−1 ∗ g^−1 ∈ Za. zu Seien ∈ Za. Dann gilt mit auch a ∗ ∗ (g^−1)^−1 ∈ Za.
Habe ich jetzt alles gezeigt? LG
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Hallo Lunaticgirl,
Irgendwie zeigst du sehr seltsame Dinge ...
Nun mal zu "meinen Bedingungen": Es sei beliebig aber fest (!)
zu (a): Warum enthält das Einselement ?
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Hallo ermanus,
das 'seltsame' kam aus dem Vorlesungsskript... anscheinend hab ich es falsch angewendet.
zu dir:
1. Warum Einselement? Vielleicht weil: Für alle a aus muss ein existieren, so dass ist. also: das neutrale Element ist auch "linksneutral", also auch . Jetzt muss man zeigen, dass dieses und das neutrale Element aus übereinstimmen. Mit a ist auch . Also muss gelten, und damit . Da aber das neutrale Element ist, folgt daraus
oder???????
LG
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Oh, da muss ich doch ein bisschen "Gehirnwäsche" einsetzen ;-) ist ja einfach die Menge der Gruppenelemente, die mit dem festen vertauschbar sind. So ist definiert und heißt deswegen auch der Zentralisator von .
Wenn ich also zeigen will, dass in liegt, muss ich nur zeigen, dass mit vertauschbar ist.
Edit: das hast du aber wohl auch ausdrücken wollen mit deinem , oder ????
Übrigens, kennst du die Permutationsgruppe ? Wenn ja, dann kannst du ja mal diese als Beispüielgruppe nehmen und als die Permutation (Zykelschreibweise).
Bei (b) muss es heißen: oder oder ähnlich Du kannst nicht über das quantifizieren; denn das ist doch fest gewählt.
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Hallo,
nein, wir haben das nicht behandelt, also das mit der Permutationsgruppe.
bei was genau muss jetzt gezeigt werden?
und war das mit dem Einselement, was ich angewendet habe, falsch?
LG
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So richtig falsch war es ja nicht. Aber es traf nicht den Punkt. In existiert ja das neutrale Element, das heißen möge. Dass ein neutrales Element einer Untergruppe dasselbe neutrale Element ist, musst du nicht zeigen. Wichtig ist bei (a), dass mit vertauschbar ist. Hierzu hast du richtig bemerkt, dass sowohl links- als auch rechtsneutral ist, also gilt, was offenbar bedeutet, dass mit vertauschbar ist. Ich hätte nur geschrieben:
; denn .
Für (a) sollte das reichen; denn das ist der Punkt ! Mehr musst du bei (a) nicht schreiben. Die elementaren Eigenschaften des neutralen Elementes einer Gruppe kannst du einfach verwenden und musst sie nicht begründen; denn dein "Leser" sollte sie kennen.
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Okay, interessant. Ich finde es komisch, dass im Vorlesungsskript sowas nicht angegeben wird.
Zu Ich muss also zeigen, dass die Untergruppe abgeschlossen ist und nicht, dass die Untergruppe assoziativ ist?
LG
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Ja, wie du an anderer Stelle bereits mal bemerkt hast, wird die Assoziativität von auf jede Teilmenge von vererbt. Daher gehört ihr Nachweis nicht zu den Untergruppenkriterien.
Die Abgeschlossenheit ist aber wesentlich. Die musst du begründen :(
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also,
du sagtest zu ∈ Za ∈ Za
also so aufgeschrieben? : Seien ∈ Za , dann ist auch ∈ Za und somit auch ∈ Za
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Dass die Aussage nach sich zieht, ist für mich nicht nachvollziehbar.
Hier nochmal die "Versprachlichung" dessen, was du begründen musst:
"wenn und mit vertauschbar sind, dann ist auch mit vertauschbar".
Diese Aussage musst du beweisen ...
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meinst du also:
?
(das sieht so falsch aus xD)
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Ja, das sieht wirklich mächtig falsch aus ;-)
Vieleicht eher so:
, da ist , nun du weiter !
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um ehrlich zu sein, versteh ich es immer noch nicht ….
???? da ∈ Za ist... ????
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Du willst (hoffentlich) zeigen, dass mit vertauschbar ist; denn das bedeutet doch , also musst du insgesamt zeigen: . Du musst also unter Beachtung der Gruppengesetze das Stück für Stück an den "vorbeischieben".
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Okay.
so?
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Ja :-) Nun fehlt nur noch 3., dass also
gilt.
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Moment, wurde es mathemathisch korrekt verfasst? oder muss ich noch was anderes schreiben zu
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Hallo,
> Moment, wurde es mathemathisch korrekt verfasst? oder muss ich noch was anderes schreiben zu (2)
Verstehst du denn überhaupt, was du da machst? Wenn nicht, musst du dir die Frage stellen, ob dich ein Studium mir derart hohem Mathematikanteil nicht überfordert.
Mfg Michael
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Unter das 2-te Gleichheitszeichen würde ich als Begründung schreiben und unter das 4-te als Begründung .
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Hallo Michael,
ja an sich versteh ich es, aber jetzt das mit den Untergruppen ist ein wenig verwirrend, denn im Vorlesungsskript von meiner Prof. stehen andere Nachweise, als das was ermanus mir gezeigt hat.
LG
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Okay, Dankeschön ermanus.
Jetzt zu (3) vielleicht: Sei ∈ Za. Dann gilt ∗ g^−1 ∈ Za. (Laut Vorlesungsskript)
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Das nützt dir wohl nicht viel ... Warum gehst du nicht von aus und zeigst, dass dann auch gelten muss ? Du willst doch (hoffentlich) zeigen, dass wenn mit vertauschbar ist, dass dann auch mit vertauschbar ist, oder ?
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Hallo,
dann finde ich deine Rückfrage verwirrend. Es geht darum zu beweisen, dass ein Produkt eine spezielle Eigenschaft hat (nämlich mit zu vertauschen), wenn jeder einzelne Faktor diese Eigenschaft hat. Diese Eigenschaft ist (typisch mathematisch) mit der Zugehörigkeit zu einer Menge abgekürzt worden:
Gelten (also ) UND (also ), so folgt doch für das Produkt:
Die Begründungen für die Gleichheitszeichen könnten folgende sein, wie ermanus vorschlägt: (1),(3),(5): Assoziativgesetz (2): Da gilt. (4): Da gilt.
Was ist also geschehen? Damit ist gezeigt: , oder mathematisch kürzer:
Du musst dir jetzt jeden einzelnen Schritt als vernünftig, ja sogar zwangsläufig erklären auf dem Ziel, die Untergruppeneigenschaft von zu untersuchen.
Mfg Michael
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Ja, echt komisch.
Sei ∈ Za, dann gilt: a ∗ ∗ da ∈ Za
so?
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Warum soll sein? Und wie kannst du " da " benutzen, wenn du genau dies doch erst beweisen willst?
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Hallo Michael, Vielen Dank für die Erklärung, vielleicht solltest du'n Erklärungsskript hochladen, dann wäre mein Vorlesungsskript von meiner Prof. nicht so verwirrend xD
LG
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Okay Ermanus,
Vielleicht: Sei ∈ Za beliebig. Da Za eine Gruppe ist, gibt es in Za ein inverses Element ∈ Za mit a ∗ ∗ a also ist auch das inverse Element zu . Damit folgt g^−1 ∈ Za.
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Du weißt doch noch garnicht, dass eine Gruppe ist. Dieser ganze Aufwand, der hier betrieben wird, aoll doch gerade zeigen, dass (!) ein Gruppe ist. Verzweiflung ....
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Ich geh weinen ermanus hahahahaha kannst du erklären, was man bei ganz genau zeigen muss. Ich schaue diesmal nicht im Vorlesungsskript hinein, ich schwörs.
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Bevor ich weitermache: 1. sind wir uns einig, dass wir insgesamt zeigen wollen, dass eine Untergruppe von ist, also insbesondere eine Gruppe? 2. sind wir uns eingig, dass die Menge aller Gruppenelemente von ist, die mit vertauschbar sind, so, wie Michael es nochmal in aller Klarheit dargestellt hat?
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Ja.
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Gut! Was kann man mit einer Gleichung machen, damit ein Faktor auftaucht?
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in die Gleichung einsetzen?
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Da kannst du nichts einfach einsetzen ... Aber du kannst doch Gleichungen multiplizieren ...
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meinst du :
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Na klar! nun hast du also . Wie bekommst du nun auf gleiche Weise ein auf die linke Seite?
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Schritt 'gleiche Weise auf der linken Seite' :
oder?
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Aber dann würde ja herauskommen. So werde ich das ja wohl kaum gemeint haben. Welche Gleichung wollen wir denn im Endeffekt fabrizieren? Denk doch mal mehr an des Beweisziel.
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wir wollen ja ∈ Za
Schritt
schritt meinst du das so vielleicht?
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Schritt 1 hat dich zu gebracht. Warum in Teufels Namen multiplizierst du diese Gleichung nicht von links mit ?
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Meinst du
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Nun hast du wohl alle Rechenregeln vergessen? von links(!) mit multipliziert, ergibt doch wohl
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ACHSOOOOOOOOOOOOOOOO DAS MEINTEST DUUUUU
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Das war doch in 3. unser Ziel !!!!
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Menschhhh Ermanus, sag das doch gleich xD Hahaha spaß.
Okay wir haben schritt 2.
Was tun wir jetzt genau ? Zusammenfassen ?
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Nun haben wir alle Punkte abgearbeitet. Am besten, du schaust dir das Alles nochmal in Ruhe an, fasst es zusammen und formulierst es adäquat, so dass es als Bachelor-Arbeit durchgeht ;-) Muss mich nun von diesem Frustrationstoleranztest erholen ;-)
LG ermanus
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Hahahaha, Danke dir Ermanus. Bist ein guter Erklärer. Hab noch nen schönen Sonntag.
LG
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