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binäre Verknüpfung

Universität / Fachhochschule

Tags: binäre Verknüpfung

Trying aktiv_icon

17:57 Uhr, 20.01.2012

Ich bräuchte hier bitte, bitte Hilfe! Ich kriege das irgendwie mit den Potenzmengen nicht gebacken!!!

Überprüfen Sie folgende binäre Verknüpfungen

P(Z) × P(Z) → P(Z) mit

(a) (A, B) → A ∪ B
(b) (A, B) → A \ B

jeweils auf Assoziativität, Kommutativität und Regularität.

POGUE aktiv_icon

00:09 Uhr, 21.01.2012

Hallo Trying!

Lass dich bitte nicht von den Potenzmengen verwirren. Das sind nur Mengen,die Mengen enthalten. Statt mit Zahlen o.Ä. betrachten wir einfach Mengen. Mengen können genauso abgebildet werden und haben Verknüpfungen, wie

\cup

oder

\

. Ich denke soweit noch kein Problem. Und es sind natürlich auch Funktionen auf solchen "Mengen von Mengen" möglich. Die Potenzmenge ist "nur" die "einfachste" Menge an Mengen, sie enthält einfach ALLE Mengen,die man sich auf einem Raum vorstellen kann.

P (Z) \times P (Z) \mapsto P (Z)

ist also eine Funktion, die zwei Mengen auf eine Menge abbildet, bzw. aus zwei Mengen eine neue Menge "bastelt" (enmtschuldige die Anführungsstriche, aber ich versuche es etwas salopp deutlich zu machen, ich hoffe es hilft.)

Diese Funktion soll nun auf drei Eigenschaften unteruscht werden:
Assoziativität, Kommutativität und Regularität.Ich hoffe, die Definitionen der Eigenschaften findest du in deinem Skript, nun können wir diese an der Aufgabe (a) untersuchen:

(A, B) \to A \cup B

1. Assoziativität:
Eine Verknüpfung

\circ

heißt assoziativ, wenn

a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c

Wir arbeiten auf MEngen und lassen uns davon nicht verwirren, seien also

A, B, C \in P (Z)

(beliebige) Mengen und die VErknüpfung ist ja nun:

A \circ B := A \cup B

. Schreiben wir also eine Seite der zu zeigenden Ungleichung für die Assoziativität auf und schreibe die Definition von

\cup

zweimal aus:

A \cup (B \cup C) = A \cup {x \in Z : x \in A \land x \in B} = {x \in Z : x \in A \land (x \in B \land x \in C)}

= {x \in Z : x \in A \land x \in B \land x \in C} = {x \in Z : (x \in A \land x \in B) \land x \in C} =

{x \in Z : x \in A \land x \in B} \cup C = (A \cup B) \cup C

\land

auf

Z

assoziativ ist, ist somit auch

\cup

auf

P (Z)

assoziativ.

DIe Schritte nocheinmal zusammengefasst:
1. Definition von dem zu zeigenden aufschreiben
2. Die konkrete Verknüpfung eintragen
3. Gleichheit/Ungleichheit/Eigtenschaft zeigen indem man auf einer Seite anfängt und versucht auf die andere zu kommen.

Als kleiner Tip: das ausformulieren von Sachen wie

A \cup B = {x \in Z : \dot{s}}

hilft mir Überblick zu behalten,ich hoffe ich habe dich nicht allzusehr verwirrt. Probier es nocheinmal mit Kommutativität, wenn noch Fragen da sind, ich werd morgen abend nocheinmal reinschauen. Es ist jetzt etwas ausführlicher geworden als geplantr,ich ho0ffe du kannst damit was anfangen...

Trying aktiv_icon

14:13 Uhr, 21.01.2012

Ich danke dir! Ich glaube du hast mich sehr viel weiter gebracht!

Ich habe aber auch noch ein paar Fragen ;D
Ich leg dann mal los und hoffe du findest heute ein wenig Zeit mir wieder so schön ausführlich zu antworten.
Deine Darbietung der Assoziativität der Verknüpfung war super verständlich dargestellt, ich habe nur zwei Fragen eines evtl. "Schreibfehlers" deinerseits

und zwar beim ersten Schritt, müsste es nicht von AU(BUC) dann AU( EZ: xEB v xEC) ? (Wie bekomme ich eigentlich das E hin?)

Du hast in den weiteren Schritten immer die Konjunktor benutzt, müsste es nicht aber der Disjunktor sein basierend auf der Vereinigung? (hoffentlich verstehst du mich ;-))

Ansonsten habe ich alles BESTENS verstanden. Vielen Dank!

Für die Kommutativität habe ich mir jetzt folgendes aufgeschrieben und hoffe es ist richtig!

2. Kommutativität

Eine Verknüpfung heißt kommutativ, wenn a Kringel b= b Kringel a (joa auch da weiß ich net wie ich zu dem Zeichen komme)

A,B E P(Z) (beliebige) Mengen und die Verknüpfung lautet A Kringel B:= AUB

AUB= {xEZ: xEA v xEB}= {xEZ: xEBvxEA}= BUA

Da v auf Z kommutativ ist, ist somit auch U auf P(Z) kommutativ

hagman aktiv_icon

14:25 Uhr, 21.01.2012

(Vorab:

x \in A

erhält man, wenn man aus

x

"in" A schreibt (ohne ""), und

a \circ b

durch a "@"

b

(siehe auch www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf )

Richtig beobachtet. Beim Übersetzen der Mengenoperation

\cup

in die Prädikatenlogik ergibt sich

\lor

und nicht

\land

.
Übrigens ist zwar das richtige gemeint, aber man kann nicht sagen, dass "

\lor

auf

Z

" assoziativ bzw. kommutativ bzw. regulär ist. Vielmehr ist das Oder der Aussagenlogik schlechthin assoziativ bzw. kommutativ (was an dieser Stelle wohl vorausgesetzt werden darf).
(BTW: Wann heißt eine allgemeine binäre Relation eigentlich regulär? Das kenne ich nur im Zusammenhang mit Sprachen

...)

Noch ein Tipp: Bei

(b)

lautet die Antwort "offensichtlich", dass die Relation weder assoziativ noch kommutativ ist. Aber Vorsicht! So allgemein stimmt das nicht allgemein, sondern hängt von der Menge

Z

ab. Es ist also genauer zu untersuchen, für welche

Z

die Eigenschaften erfüllt sind oder nicht.

Trying aktiv_icon

15:11 Uhr, 21.01.2012

Danke dir!

Da die Aufgabenstellung Überprüfen sie lautet, reicht es doch aus, wenn wir für die Mengen, Mengen zusammenstellen und dann als Beispiel benutzen, oder?

Wie sollte ich denn deiner Meinung nach richtig formulieren, von der Beweisführung ausgehend zum Zusammenhang auf die Potenzmenge?

hagman aktiv_icon

19:48 Uhr, 21.01.2012

Beispiele sind kein Beweis, es sei denn für Existenzaussagen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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