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binomialkoeffizienten ungleichung

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Tags: binomialkoeffizienten, Sonstiges

ridey

12:35 Uhr, 09.01.2013

Hallo,

wie kann ich

(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) < ... < (\begin{matrix} n \\ \frac{n}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ \frac{n}{2} \end{matrix}) > ... > (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) > (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix})

beweisen?

Danke LG :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Edddi aktiv_icon

13:05 Uhr, 09.01.2013

. .

. erstmal gilt ja per Definition des BK mit

p \leq n : (\begin{matrix} n \\ p \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ n - p \end{matrix})

somit musst du nur noch zeigen, dass

(\begin{matrix} n \\ p \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ p + 1 \end{matrix})

mit

p < \frac{n}{2}

Dies geht per Induktion oder einfach direkt:

(\begin{matrix} n \\ p \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ p + 1 \end{matrix})

\frac{n!}{p! \cdot (n - p)!} < \frac{n!}{(p + 1)! \cdot (n - p - 1)!}

\frac{n!}{p! \cdot (n - p)!} < \frac{n! \cdot (n - p)}{p! \cdot (p + 1) \cdot (n - p)!}

1 < \frac{n - p}{p + 1}

p + 1 < n - p

2 \cdot p < n - 1

p < \frac{n}{2} - \frac{1}{2}

Dies widerspricht nicht der Voraussetzung

p < \frac{n}{2},

somit passt's

;-)

ridey

13:11 Uhr, 09.01.2013

DANKE :-) ich denk ewig nach und es kommt nix raus und bei dir is so einfach

\land

is damit die recht seite auch bewiesen ?

LG

ridey

13:13 Uhr, 09.01.2013

und is es sicher richtig, nur weil am ende kein widerspruch rauskommt? weil wir wissen ja nur dass

p < \frac{n}{2}

is aber des andere wissen wir ja ned. stimmt des dann trotzdem?

Bummerang

13:42 Uhr, 09.01.2013

Hallo,

aus

p \in ℕ

und

\frac{n}{2} \in ℕ

(hier fehlt offensichtlich die Angabe, dass

n

gerade sein muß!) folgt mit

p < \frac{n}{2}

auch unmittelbar

p \leq \frac{n}{2} - 1 < \frac{n}{2} - \frac{1}{2}

. Mit dieser Aussage kann man dann den direkten Beweis starten. So wie Edddi das gemacht hat, ist das leider nicht korrekt, denn bei einem direkten Beweis geht man von einer wahren Aussage aus und folgert daraus die Behauptung. Geht man wie Edddi von der Behauptung aus, so kann diese ja falsch sein und aus einer falschen Aussage kann man alles folgern, auch wahre Aussagen. Das ist das Dilemma der Implikation. Wenn man wie Edddi vorgehen will, muß man wenigstens erwähnen, dass alle Umformungen Äquivalenzumformungen und damit Umkehrbar sind!

ridey

14:00 Uhr, 09.01.2013

Bei der Aufgabe steht die Gleichung und dann steht dabei:

wobei für gerades

n

die beiden mittleren Binomialkoeffizienten zusammenfallen.

aber das heißt ja nicht, dass

n

generell gerade is?

und aus

p < \frac{n}{2}

folgt auch unmittelbar p≤n/2−1 check ich auch ned?

wenn ich einen direkten beweis starten will, von welcher aussage geh ich am besten aus?

Danke !

ridey

14:05 Uhr, 09.01.2013

aso, jetzt versteh ich das mit

p < \frac{n}{2}

und kleiner gleich

\frac{n}{2} - 1

sorry, bin auf der leitung gstandn ;-) aber den rest versteh ich no ned ganz.
wie soll ich beim direkten beweis anfangen?

Edddi aktiv_icon

14:24 Uhr, 09.01.2013

. .

. ist

n

gerade, so ergeben sich

n + 1

Binomialkoeffizienten. Auf Grund der Symmetrie musst du ja nur bis

(\begin{matrix} n \\ \frac{n}{2} \end{matrix})

die Aussage

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix})

überprüfen.

Wegen

\frac{n}{2} = k + 1

für den (vermutlich) größten Koeffizienten ergibt sich:

k = \frac{n}{2} - 1

bei ungeradem

n

ergeben sich ebenfalls

n + 1

Binomialkoeffizienten. Hier wäre dann bis

(\begin{matrix} n \\ \frac{n}{2} - \frac{1}{2} \end{matrix})

die Aussage

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix})

überprüfen.

Wegen

\frac{n}{2} - \frac{1}{2} = k + 1

für den (vermutlich) größten Koeffizienten ergibt sich:

k = \frac{n}{2} - \frac{3}{2}

Egal, ob nun

n

gerade oder ungerade, das größte

k

kann maximal

k = \frac{n}{2} - 1

sein

Nun überprüfen wir direkt (wie oben), ob

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix}) :

Wenn:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix})

dann:

. .

.

dann:

. .

.

dann:

. .

.

dann:

k < \frac{n}{2} - \frac{1}{2}

Solnage also

k < \frac{n}{2} - \frac{1}{2},

dann ist auch

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix})

Da wir aber, wie oben festgelegt, die Ungleichung nur bis maximalem

k

von

k = \frac{n}{2} - 1

untersuchen, und

k = \frac{n}{2} - 1

sogar noch kleiner als

\frac{n}{2} - \frac{1}{2}

ist, sollte also wirklich

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) < (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix})

gelten.

;-)

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