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bogenlängen bei der integralrechnung

Schüler Gymnasium,

Tags: ich muss gegen ende des monats meine präsentationsleistung zu diesem Thema machen

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20:38 Uhr, 18.11.2012

Gibt es eine einfache Erklärung was das überhaupt ist und wie man es ausrechnet ?
ich muss mein hand out am donnerstag abgeben und absolut keinen Plan !

Bitte helft mir !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KalleMarx aktiv_icon

21:03 Uhr, 18.11.2012

Moina!

Hast Du schon Wikipedia oder Ähnliches gelesen?

Eine Kurzinfo:
Die Bogenlänge einer Kurve zwischen zwei Punkten auf dieser Kurve, ist die Länge des Kurvenstücks zwischen zwei Punkten. Stelle Dir vor, daß die Kurve einen Fahrradweg beschreibt. Wenn Du nun mit dem Fahrrad auf der Kurve von Punkt A nach Punkt B fährst, ist die zurückgelegte Entfernung die Bogenlänge dieser Kurve zwischen den Punkten A und B:

s (a; b) = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f ´ (x))}^{2}} d x

.

Gruß - Kalle.

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23:14 Uhr, 19.11.2012

Dankeschön ! auf wikipedia gibt es leider nur einen Artikel zu "Längen" hab ich auch schon versucht

: (

Ich hab eine PDF gefunden wo das ganze erklärt wird und auch die Formel hergeleitet wird , das ist aber alles schwer verständlich ohne eine Erklärung , allerdings bin ich mir auch nicht sicher ob ich das überhaupt muss.. . Ausserdem hab ich auf Youtube ein sehr hilfreiches Video gefunden, in dem allerdings auch nur die Formel angewendet wurde .

Mein größtes Problem ist nun das FUNKIONENAUFSTELLEN welches ich für die Beispielaufgaben
brauche .. Ich kann das in der Theorie, aber in der Praxis funktioniert das bei mir nie

!! f (X) =

aX^2+bX+c

1) f (0) = 35 = c

2) f (128) = 35 = a x 1638 + b x 128 + 35

3) f (64) = 5 = a x 4096 + b x 64 + 35

dann habe ich

2) - 3)

gerechnet aber nun komme ich nicht weiter weil immer noch 2 variablen im Ergebniss sind. wie löse ich nun nach denen auf ?

12288 x a + 64 x b = 30

KalleMarx aktiv_icon

04:45 Uhr, 20.11.2012

Hallöchen!

Nun vermischst Du allerdings zwei Themengebiete:
Zuerst willst Du die Bogenlänge einer Kurve behandeln und nun kommst Du mit einer Kurvenrekonstruktion. Das eine hat doch mit dem anderen nichts zu tun. Bitte erstelle für jede Frage einen eigenen Thread.

Was ist denn an der Bogenlänge unklar? Bitte stelle klare Fragen.
Wenn Du einen Vortrag darüber halten sollst, musst Du die Formel natürlich herleiten und auch beschreiben können, was Du da machst und warum.

Eröffne zu Deiner Kurvenrekonstruktion bitte einen neuen Thread.

Gruß - Kalle.

Atlantik aktiv_icon

06:11 Uhr, 20.11.2012

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel 2.Ordnung lautet:

f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

Nun soll

P (3 | 4)

auf dieser Parabel liegen:

f (3) = a \cdot 3^{2} + b \cdot 3 + c = 9 \cdot a^{2} + 3 \cdot b + c

f (3) = 4

9 \cdot a^{2} + 3 \cdot b + c = 4

mfG

Atlantik

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17:57 Uhr, 20.11.2012

ja danke , das brauch ich nicht mehr zu tun , ein freund hat mir geholfen . es hängt in sofern zusammen das ich für die beispiel aufgabe eine funktion ermitteln soll an die ich dann die formel anwenden soll :-)

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18:00 Uhr, 20.11.2012

ähh ja danke aber irgendwie ist das nicht so richtig das was ich brauch , sorry :-) ein freund hat mir dabei geholfen .

KalleMarx aktiv_icon

20:10 Uhr, 20.11.2012

Dann ist soweit alles geklärt?

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13:32 Uhr, 21.11.2012

ja , ich bin ein Glück in einem Grundlegenden Kurs und meine Mathe Lehrerin hat gesagt ich soll das so weit machen wie ich kann . Aber es wäre hilfreich wenn du mir das Zeichen für

Δ

erklärst, das ist nähmlich irgendwie in der herleitung drin und es könnte mir evtl. helfen das ganze besser zu verstehn :-)

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14:18 Uhr, 21.11.2012

Hallöchen!
Ein großes Delta

Δ

steht im Allgemeinen für eine Differenz. So meint

Δ y

zum Beispiel die Differenz zweier

y

-Werte und

Δ x

die Differenz zweier

x

-Werte. Der Quotient daraus ist dann der Differenzenquotient:

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

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15:42 Uhr, 21.11.2012

AHA ! ok das erscheint mir im Sachverhalt logisch :-)

!!

Danke ! könntest du mir evtl. noch sagen was

lim

nochmal war ? das spielt auch eine Rolle in der Herleitung .. wir hatten das zwar mal in der

10

. aber ich hab es da auch schon nicht ganz geblickt .. bei dir versteh ich die sachen aber eigentlich bis jetzt immer :-)

KalleMarx aktiv_icon

16:00 Uhr, 21.11.2012

Der Limes (lat. Grenze) bildet den Grenzwert eines Ausdrucks (Funktion, Folge etc.). Wenn man beim Differenzenquotienten den Nenner (das

Δ x

) gegen Null gehen lässt, ergibt sich der Differentialquotient:

lim_{x_{2} \to x_{1}} \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}

.
Anders gesagt: Du hast zunächst den Differenzenquotienten wie oben schon geschrieben und lässt nun den Minuenden im Nenner gegen den Subtrahenden streben. Dadurch strebt die Differenz gegen Null. Im Allgemeinen verwendet man dann nicht mehr die Indizes 1 und 2, sondern schreibt:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

.
Mit

h = x - x_{0}

erreicht man eine etwas einfachere Schreibweise - die

h

-Methode, die mathematisch genau dasselbe macht:

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

.

Generell werden solche Grenzwerte berechnet, indem man den Nenner komplett kürzt. Danach kann man

h = 0

einsetzen, ohne eine Division durch Null zu haben. Um den Nenner kürzen zu können, muss das

h

im Zähler zunächst ausgeklammert werden.

KalleMarx aktiv_icon

16:20 Uhr, 21.11.2012

Hier noch ein kleines Beispiel:

Sei

f (x) = x^{2} + 5

gegeben und der Grenzwert für

x_{0} = 3

zu berechnen. Dann schreibt man:

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

lim_{h \to 0} \frac{(x_{0} + h)^{2} + 5 - [x_{0}^{2} + 5]}{h}

Klammern auflösen

lim_{h \to 0} \frac{x_{0}^{2} + 2 x_{0} h + h^{2} + 5 - x_{0}^{2} - 5}{h}

zusammenfassen

lim_{h \to 0} \frac{2 x_{0} h + h^{2}}{h} h

ausklammern

lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (2 x_{0} + h)}{h} h

kürzen

lim_{h \to 0} 2 x_{0} + h h = 0

einsetzen

\Leftrightarrow 2 x_{0}

Das ist die Ableitung der Funktion

f

an der Stelle

x_{0}

. Nun setzt man

x_{0} = 3

ein:

\Rightarrow f ´ (3) = 6

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16:34 Uhr, 21.11.2012

Das ganze ist also nur dazu da um die steigung an der stelle

x

zu bekommen ? wenn man

x

sowieso schon weiß , warum leitet man nicht die ausgangsfunktion ab und setzt 3 ein ?

f (x) = x 2 + 5

f´(x)=

2 x

ganz einfach wozu der ganze tünnif ?

KalleMarx aktiv_icon

17:11 Uhr, 21.11.2012

Zweierlei:
Einerseits werden ständig auch andere Grenzwerte berechnet - zum Beispiel die von Folgen - und nicht nur Ableitungen von Funktionen.
Andererseits wird der Differentialquotient während der Einführung in die Differentialrechnung verwendet, wenn die Eleven den Begriff der Ableitung (und die Ableitungsregeln) noch nicht kennen. Das dient der Veranschaulichung, was beim Ableiten eigentlich passiert.

In Deinem Fall:
Auch die Herleitung der Bogenlänge bedient sich in der Regel des Differenzen- und des Differentialquotienten und nicht der Ableitung, da dadurch leichter das Zustandekommen der Formel verstanden werden kann:
Man betrachtet ein kleines Kurvenstück, welches näherungsweise als Gerade angesehen werden kann. Die Länge dieses Stücks ist nach Pythagoras

Δ s = \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}

.
Zieht man ein

(Δ x)^{2}

aus der Wurzel heraus, erhält man:

Δ s = Δ x \cdot \sqrt{1 + {(\frac{Δ y}{Δ x})}^{2}}

Lässt man nun

Δ x

gegen Null laufen, um das bisher betrachtete Kurvenstück infinitesimal zu machen und den - bei der Annahme des Kurvenstücks

Δ s

als Gerade - gemachten Fehler zu eliminieren, wird der Bruch in der quadratischen Klammer zur Ableitung der Funktion und sowohl

Δ x

als auch

Δ s

bekommen zur Unterscheidung ein lateinisches d, welches aufrecht und nicht kursiv zu schreiben ist, da es keine Variable, sondern ein Operator ist:

d s = d x \cdot \sqrt{1 + {(f ´ (x))}^{2}}

.

Das ist nun die Länge eines infinitesimalen Kurvenstückes. Die Summe der Länge aller solcher Kurvenstücke in einem Intervall

[a; b]

ist das Integral dieses Ausdrucks, denn das Integral ist nichts anderes als ein Aufsummieren von Termen gleicher Art mit aufeinanderfolgenden

x

-Werten:

s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f ´ (x))}^{2}} d x

.

Und schon hast Du Deine Bogenlänge.
Nebenbei: Das Differential

d x

steht immer hinter dem Integranden, um das Ende des zu integrierenden Terms zu kennzeichnen.

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18:20 Uhr, 21.11.2012

achso die art die formel herzuleiten kann man also auch machen, ich habe mir mit deiner Hilfe diese Herleitung aus dem Internet beigebracht ecosia.org/search.php?q=bogenl%C3%A4nge+demo&addon=opensearch ich hoffe das ist auch richtig ? ich habe es jetzt jedenfalls verstanden und danke dir sehr !
meine lehrerin hat mir allerdings erklärt dass das

d x

stellvertretend für etwas steht , ich hab grad vergessen was aber es steht nicht nur einfach als endmarkierung da !

KalleMarx aktiv_icon

18:44 Uhr, 21.11.2012

Die von Dir verlinkte Herleitung ist genau wie von mir beschrieben. Nur habe ich mich etwas kürzer gefasst und nicht jede Einzelheit aufgeschrieben. Ausführlich kannst Du das so schreiben wie in dem pdf.

Natürlich steht das Differential "stellvertretend" für etwas und lungert nicht nur aus Spaß dort herum. Es kommt doch vom

Δ x

und steht somit für den horizontalen Abstand der Endpunkte eines infinitesimalen Kurvenstückes.

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19:13 Uhr, 21.11.2012

achso ,na dann icst ja gut ! was bedeutet eigentlich infinitesimal ?

KalleMarx aktiv_icon

19:46 Uhr, 21.11.2012

Infinit bedeutet "unendlich" und infinitesimal bedeutet wörtlich "unendlich klein" und mathematisch korrekt "beliebig klein".
Insofern ist "infinitesimal klein" wie ich es oben verwendete doppelt gemoppelt - ich habe das korrigiert.

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