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charakteristischen Polynom ohne zugehörige Matrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Charakteristisches Polynom, Eigenwert

Eint21212 aktiv_icon

14:48 Uhr, 11.01.2023

Hallo, ich habe die Aufgabe im Anhang.

zu

a :

Sei A die zugehörige Matrix von

f,

so wissen wir, dass

det (A - t \cdot

Id_2)

= {(t - 1)}^{2}

gilt.

f

ist gewiss nicht die Id_V, wenn also

t \neq 1

ist, so gilt

det (A) \neq 0,

weshalb A invertierbar ist und

f

demnach bijektiv ist.

zu

b :

f

ist triangulierbar, da das charakteristischer Polynom als Linearfaktor zerfällt, ich weiß allerdings nicht, wie wir ohne die Matrix zeigen können, dass

f

nicht diagonalisierbar ist, schließlich können wir keine Eigenräume bestimmen.

zu

c :

habe ich noch keine Idee.

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

michaL aktiv_icon

19:00 Uhr, 11.01.2023

Hallo,

wäre

f

nicht injektiv, also

\dim (\ker (f)) \geq 1

, so wäre

\ker (f)

ein Eigenraum zum Eigenwert 0.
Der Eigenwert Null müsste demnach im char. Polynom auftauchen, was nicht der Fall ist.

Bei b) hängt es jetzt sehr davon ab, was ihr schon hattet:
Übliches Kriterium für Triangulierbarkeit: Das char. Polynom zerfällt.
Wäre

f

diagonalisierbar, müsste aber wegen der Eigenwerte

f = {Id}_{V}

gelten, was aber nicht soll.

Bei c) müsste man wohl schon die Jordansche Normalform bemühen (oder zumindest Teile davon für diesen Spezialfall). Hattet ihr die schon?

Mfg Michael

Eint21212 aktiv_icon

19:53 Uhr, 11.01.2023

Nein, tatsächlich haben wir die Jordan Normalform noch nicht besprochen.

michaL aktiv_icon

12:05 Uhr, 12.01.2023

Hallo,

entschuldige, dass ich erst so spät antworte. Bin arbeitstechnisch im Moment recht belastet.

Das char. Polynom anulliert die Abbildung, d.h. es gilt

P_{f} (f) = 0

, genauer:

P_{f} (f) (v) = 0

für alle

v \in V

P_{f} (f) = (f - {Id}_{V})^{2}

, d.h. es gilt

V = \ker ((f - {Id}_{V})^{2})

.

Um es nochmal mit Vektoren auszudrücken: Für alle

v \in V

gilt demnach

[f - {Id}_{V}] ([f - {Id}_{V}] (v)) = 0

\overset{}{\Leftrightarrow} f ([f - {Id}_{V}] (v)) = [f - {Id}_{V}] (v)

\overset{}{\Leftrightarrow} f (f (v) - v) = f (v) - v

\overset{}{\Leftrightarrow} f (f (v)) - f (v) = f (v) - v

Sei nun

b_{1} \in V \ {0}

irgendein Vektor, der KEIN Eigenvektor von

f

zum EW 1 ist. Es gilt also insbesondere nicht(!)

f (b_{1}) = b_{1}

.

Weiter sei

b_{2} := [f - {Id}_{V}] (b_{1}) = f (b_{1}) - b_{1} \neq 0

nach Voraussetzung.
Es gilt dann

[f - {id}_{V}] (b_{2}) = 0

, da

[f - {id}_{V}] (b_{2}) = [f - {id}_{V}]^{2} (b_{1}) = 0

(sogar für alle

v \in V

, nicht nur

v = b_{1}

).

Damit ist

b_{2}

ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 von

f

, d.h.

f (b_{2}) = b_{2}

.
Da

b_{1}

insbesondere kein Eigenvektor von

f

zum EW 1 war, ist

B := {b_{1}, b_{2}}

Basis von

V

.

Mit

f (b_{2}) = b_{2}

und

b_{2} = f (b_{1}) - b_{1} \overset{}{\Leftrightarrow} f (b_{1}) = b_{1} + b_{2}

folgt die Darstellungsmatrix. von

f

bzgl. Basis

B

.

Mfg Michael

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