Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » chuck-a-luck

chuck-a-luck

Schüler Sekundarschule, 9. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik, Stochastik

ezili aktiv_icon

06:22 Uhr, 02.05.2017

Hallo zusammen

Und wieder einmal haben wir in der Schule das Thema Problemlösung. Kann mir bitte jemand helfen bei dieser Aufgabe?

Aufgabe: Spielsalon:

Ein Spieler darf auf eine der Zahlen

1, 2, 3, 4, 5

oder 6 setzen. Dann wird mit drei Spielwürfeln geworfen. Erscheint die gesetzte Zahl ein-, zwei- oder dreimal, so erhält der Spieler zusätzlich zum Einsatz von 1 Franc das Ein-, Zwei- oder Dreifache seines Einsatzes ausbezahlt. In allen andern Fällen ist der Einsatz verloren.

Mit welchem Gewinn/Verlust musste der Salon bei

100' 000

Spieleinsätzen zu 1 Franc rechnen?

Inhalte: Mittelwert, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit, evtl. Baumdiagramm

Mögliche Denkansätze: Spielregeln adaptieren oder andere Spielregeln entwickeln. Spiel einige Male ausprobieren. Statistik erstellen. Sämtliche

216

Kombinationen suchen. Gewinn und Verlust für die

216

Kombinationen bestimmen. Auf

100' 000

Einsätze umrechnen.

Ich bin euch wirklich sehr sehr dankbar für eure Hilfe. Besten Dank

Ezili

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

supporter aktiv_icon

09:06 Uhr, 02.05.2017

Erwartungswert:

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot \frac{1}{6} \cdot 1 + (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot \frac{1}{36} \cdot 2 + \frac{1}{216} \cdot 3 = 0,68

Man verliert im Schnitt

1 - 0,68 = 0,32

Euro pro Spiel.

Matlog aktiv_icon

10:26 Uhr, 02.05.2017

Wichtig sind ja zunächst die Wahrscheinlichkeiten für
- genau 1 Mal die gesetzte Zahl
- genau 2 Mal die gesetzte Zahl
- genau 3 Mal die gesetzte Zahl
in einem Wurf der drei Würfel.

Diese stimmen bei supporter übrigens auch noch nicht so ganz.
Aber ich finde, ezili sollte sich selbst mal daran versuchen.

Und am Ende ist beim Erwartungswert noch die hier spezielle Situation zu beachten, dass das "Ein-, Zwei- oder Dreifache seines Einsatzes" nicht die (mit dem Einsatz zu verrechnende) Auszahlung ist, sondern bereits der verrechnete Reingewinn.

ezili aktiv_icon

11:45 Uhr, 02.05.2017

Bei Würfen die doppelt ausbezahlt werden (also die getippte Zahl zweimal vorkommt) sind es

15

Würfe, bei Würfen die einfach ausbezahlt werden (also die getippte Zahl einmal vorkommt)sind es

75

Würfe.

Es gibt bestimmt eine Formel dafür, nur die weiss ich eben nicht!

Ich bin so drauf gekommen:

661, 616, 166

662, 626, 266

663, 636, 366

664, 646, 466

665, 656, 566

Das ergibt

15

Würfe

Und so:

611, 612 ... . . 615

621, 622 ... . . 625

631, 632 ... . . 635 u . s . w

. Das sind insgesamt

25

Würfe. Und weil die "6" auch an zweiter oder dritter Stelle stehen kann, ergibt es

3 x 25 = 75

Würfe.

Matlog aktiv_icon

11:53 Uhr, 02.05.2017

Ja, alles super!
Jetzt fehlt noch die Berechnung des Erwartungswertes.

Matlog aktiv_icon

12:10 Uhr, 02.05.2017

Oh, mir fällt gerade auf: 9. Klasse.
Dann hattet ihr den Begriff Erwartungswert vermutlich noch gar nicht?!

Dann denken wir uns einfach mal, die

6 \cdot 6 \cdot 6 = 216

verschiedenen möglichen Würfelergebnisse kämen alle hintereinander. (So "gerecht" ist der Zufall natürlich nicht, aber das ist ja nur eine theoretische Überlegung!)

Laut Aufgabenstellung soll man das aus Sicht des Salons betrachten:
In

75

Fällen macht der Salon ein Minus von 1 Franc, in

15

Fällen ein Minus von 2 Francs, in einem Fall ein Minus von 3 Francs. In allen anderen Fällen (wieviele?) macht er ein Plus von 1 Franc (der Einsatz).
Wie sieht dann die Bilanz des Spielsalons nach allen

216

Spielen aus?

ezili aktiv_icon

12:51 Uhr, 02.05.2017

Es sind

125

Fälle, wo der Salon einen Gewinn von 1 Franc macht.

Man kann auch sagen:

- 3 x 1 + (- 2) x 15 + (- 1) x 75 + 1 x 125 =

- 3 - 30 - 75 + 125 = - 108 + 125 =

17

Der Salon macht bei

216

Würfen

17

Franc Gewinn.

Stimmt das so?

Und wieso heisst die Formel, wenn der Salon in

125

Fällen (die getippte Zahl nie vorkommt) 1 Franc Gewinn macht:

1 x 5^{3}

?
Wenn der Salon in

75

Fällen Verlust macht (wenn die getippte Zahl 1-mal vorkommt) heisst die Formel:

3 x 5^{3}

Und wenn der Salon in

15

Fällen Verlust macht (die getippte Zahl 2-mal vorkommt) heisst sie:

3 x 5^{1}

Eine Kollegin gab mir diese Formel, nur verstehe ich sie nicht....

Matlog aktiv_icon

13:13 Uhr, 02.05.2017

Ja prima!
Von den

216

Spielen musst du jetzt noch auf den durchschnittlichen Gewinn pro 1 Spiel schließen, und dann noch auf die

100000

Spiele.

Zu den "Formeln":

0 Mal die gesetzte Zahl: Jeder der drei Würfel hat 5 Möglichkeiten:

5 \cdot 5 \cdot 5

1 Mal die gesetzte Zahl: Ein Würfel hat nur die eine Möglichkeit, die anderen beiden je 5 Möglichkeiten:

1 \cdot 5 \cdot 5,

aber jeder Würfel kann der "Eine" sein, deshalb

1 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3

2 Mal die gesetzte Zahl: Zwei Würfel zeigen die gesetzte Zahl, der dritte hat wieder 5 Möglichkeiten, aber jeder der drei Würfel kann der "Dritte" sein:

1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 3

3 Mal die gesetzte Zahl:

1 \cdot 1 \cdot 1

Wie man in den mittleren beiden Fällen auf die Anzahl 3 kommt, ist hier einfach, allgemein aber nach einem Rechenverfahren berechbar, was hier aber doch wohl zu weit führen würde.

Man braucht aber nicht für alles immer eine Formel!
"Ausprobieren" ist oft auch sehr hilfreich, wenn man es systematisch macht!
Vielleicht kommt man dadurch dann zur eigenen "Formel"...

ezili aktiv_icon

13:22 Uhr, 02.05.2017

Soweit habe ich alles verstanden, vielen Dank

Wenn bei

216

Spielen der Gewinn für den Salon

17

Franc ist, ist er für 1 Spiel

0.078703,

und somit für

100' 000

Spiele

7870.37

Franc.

Das ist jetzt aber der Gewinn für den Salon bei

100' 000

Spielen. Aber mit welchem Verlust muss der Salon bei

100' 000

Spielen rechnen?

Kannst Du mir da auch noch weiterhelfen?

Matlog aktiv_icon

13:31 Uhr, 02.05.2017

Wenn in der Aufgabenstellung Gewinn/Verlust steht, dann sind damit nicht zwei Aufgaben gemeint, sondern nur die eine, die du bereits gelöst hast!

Im Durchschnitt(!) macht der Salon bei

100000

Spielen

7870,37

Francs Gewinn.
Bei einer negativen Zahl würde man das Verlust nennen, deshalb die ungewisse Formulierung Gewinn/Verlust.

(Man könnte es auf die Spitze treiben und sagen: Der durchschnittliche Verlust beträgt

- 7870,37

Francs. Ein negativer Verlust wäre ja ein Gewinn. Aber das ist sicher nicht so gemeint!)

ezili aktiv_icon

13:42 Uhr, 02.05.2017

Oh ja klar, war ein Überlegungsfehler von mir, sorry

Bitte entschuldige, wenn ich nochmals nachfrage: Eines ist mir noch nicht ganz klar. In der Aufgabenstellung heisst es: Bei einen Gewinn erhält der Spieler zusätzlich zum Einsatz von 1 Franc das Ein-, Zwei- oder Dreifache ausbezahlt.
Muss man das irgendwo noch beachten?

Matlog aktiv_icon

13:51 Uhr, 02.05.2017

Das haben wir bereits beachtet!
Wenn

z . B

. 2 Mal die gesetzte Zahl kommt, dann bekommt der Spieler seinen Einsatz zurück und einen Gewinn von 2 Francs. Dadurch ist die Bilanz des Spielsalons bei

+ 1 - 1 - 2 = - 2

.
Würde der Spieleinsatz immer einbehalten und dann nur die 2 Francs ausbezahlt, dann wäre die Bilanz für den Salon

+ 1 - 2 = - 1

ezili aktiv_icon

13:58 Uhr, 02.05.2017

Oh ja klar, habe ich ganz vergessen

!!

Das ist super, jetzt habe ich den vollen Durchblick, dank Dir !

Vielen vielen Dank für Deine Hilfe. Mein Mathe-Test wird bestimmt gut

Lieben Gruss
Ezili

supporter aktiv_icon

14:13 Uhr, 02.05.2017

Bitte abhaken, wenn alles klar ist. :-)

ezili aktiv_icon

14:21 Uhr, 02.05.2017

Für mich ist jetzt alles sehr klar. Vielen Dank

1368281

1368235

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?