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cofinite Topologie, Hausdorffsch?, Trennungsaxiom?
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: cofinite Topologie, Hausdorffsch, Mengentheoretische Topologie, Trennungsaxiom T3, Trennungsaxiom T4
 
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Hallo OnlineMathe Mitglieder, ich habe Probleme beim folgenden Beispiel. Sei eine nichtleere Menge. Ist die sogenannte cofinite Topologie oder endlich. Hausdorffsch? Erfüllt sie das Trennungsaxiom ? Erfüllt Sie das Trennungsaxiom ? Hausdorffsch heißt, dass es zu je zwei Punkten x≠y, gibt es disjunkte offene Mengen sodass Trennungsaxiom Abgeschlossene Mengen A und einpunktige Mengen mit lassen sich durch offene Mengen trennen, also Trennungsaxiom Disjunkte abgeschlossene Mengen A und lassen sich durch offene Mengen trennen, also . Ich bin da ziemlich verloren, würde mich über jede Hilfe freuen. MfG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ist selbst endlich, so ist die cofinite Topologie mit der diskreten Topologie identisch. Diese ist bekanntermaßen hausdorffsch. Sei also unendlich. Dann seien offene Umgebung von und offene Umgebung von . Insbesondere müssen ja und selbst unendlich sein (sonst keine offene Menge, die Elemente enthält!). Insbesondere muss aber für disjunkt gelten im Widerspruch zu unendlich. Also ist die cofinite Topologie i.A. nicht hausdorffsch. Insbesondere gelten dann auch nicht die "höheren" Trennungsaxiome. Mfg Michael |
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Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen. Mit freundlichen Grüßen plates-13 |
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