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cramersche Regel

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: cramer verfahren

8mileproof aktiv_icon

03:10 Uhr, 17.09.2011

hi,

hab folgende aufgabe zu lösen.und zwar geht es um folgendes:

es sei

F_{2} {0,1}

der körper mit zwei elementen. bestimmen sie die menge aller

x \in F_{2}^{5}

mit Ax=b , wobei

A \in F_{2}^{4 x 5}

und

b \in F_{2}^{4}

die folgenden sind:

A := (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix})

b := (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

wir hatten sowas in der vorlesung mit der cramerschen regel bestimmt. in unserem skript gibt es ein anderes einfacheres beispiel, womit ich das eigtl. verstanden hatte:

sei

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \end{matrix}) \in ℚ^{3 x 3}

davon die determinante ist 6.

sei weiterhin Ax=((1),(0),(1)) . wir suchen also

x = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix})

haben das dann so gemacht:

c_{1} = \frac{1}{6} | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \end{matrix} | = \frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{2}{3}

c_{2} = \frac{1}{6} | \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} | = \frac{1}{6} \cdot (- 2) = - \frac{1}{3}

c_{3} = | \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix} | = \frac{1}{6} \cdot 0 = 0

also

x = (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{matrix})

damit habe ich gar keine probleme. aber mit der obigen aufgabe, bei der ich mit endlichen mengen arbeiten muss habe ich so meine schwierigkeiten. kann mir jmd. sagen/schreiben, wie ich das mit dem endlichen körper

F_{2}

rechnen muss? hab ehrlich null ahnung...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CKims aktiv_icon

03:32 Uhr, 17.09.2011

ok, das auf endliche koerper anzuwenden ist fuer mich auch premiere... also keine garantie auf richtigkeit...

aber cramer hoert sich nicht so gut an, weil man die determinante nicht bilden kann, weil das keine quadratische matrix ist...

ich wuerde es mit dem gauss algorithmus versuchen...

lg und jute nacht

8mileproof aktiv_icon

04:36 Uhr, 17.09.2011

stimmt, das mit der quadratische matrix habe ich komplett übersehen....vielen dank für den hinweis...ich werde mich dann ma mit dem guten alten gauss mein glück versuchen....

8mileproof aktiv_icon

00:37 Uhr, 18.09.2011

also ich habe mich ma rangemacht und folgendes mit dem gauß-eliminationsverfahren rausbekommen:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix})

wenn man jetzt die 2. zeile mit der 4. addiert entsteht:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

nun habe ich die 1. zeile mit der 2. addiert:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

anschließend die 2. mit der 4. zeile addieren ergibt:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix})

und zu guter letzt noch die 2. plus die 3. zeile:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix})

ist das so korrekt?

aus der letzten zeile folgt doch

x_{5} = 1

. hier habe ich doch den fall, dass die anzahl der unbekannten die anzahl der gleichungen überwiegt.
und wenn ich jetzt für

x_{4} = t

einsetze bekomme ich folgendes raus:

x_{3} + x_{4} = 1

x_{3} + t = 1 \Leftrightarrow x_{3} = 1 - t

x_{2} + x_{3} + x_{5} = 1 \Leftrightarrow x_{2} = t - 1

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \Leftrightarrow x_{1} = - t

L = {(\begin{matrix} - t \\ t - 1 \\ 1 - t \\ t \\ 1 \end{matrix}) | t \in ℝ}

stimmt das so oder hat jmd. ein anderes ergebnis?

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