Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » darstellende Matrix

darstellende Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Komisch aktiv_icon

20:52 Uhr, 06.07.2013

Hi,

ich habe eine Aufgabe gelöst, weiß allerdings nicht ob ich dabei richtig vorgegangen bin:
http//matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=183977

(Ich hatte die Frage in einem anderen Forum gestellt, da ich leider nicht weiß, wie ich hier LaTeX für Matrizen benutze leider wollte mir dort keiner sagen ob ich mit meiner Antwort/Vorgehensweise richtig gehandelt habe)

Wäre nett wenn ihr meine Lösung bestätigen bzw. berichtigen könntet.

MfG
baxbear

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

03:48 Uhr, 07.07.2013

Ja, ich habe es bisher auch noch nicht geschafft hier im "Experten-Modus (LaTeX)" Matrizen einzugeben, da das eigentliche LaTeX-Kommando nicht funktioniert.
Im "Text-Modus", den ich hauptsächlich verwende, klappt das dagegen ganz gut so liefert

((1, -2), (-2, 2), (0, -1))

beispielsweise

(\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

.

Nun aber zu deinem eigentlichen Problem.

Zitat:

- - - - - - - - - -

Hi,

also ich hab es einfach mal nach Anleitung im Internet probiert.
Hier erstmal die Aufgabe:

VR

V

mit Basis

B_{v} = {(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})}

W

mit Basis

B_{w} = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}

f : V \to W

f ((\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})) := (\begin{matrix} x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} \\ x_{2} - x_{1} \end{matrix})

als darstellende Matrix hätte ich vermutet:

(\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Ist dies richtig von mir gelöst?

Wie bestimme ich in dem Fall "ja" ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist und was ist dieses

phi

von dem in dem Forum gesprochen wird mit dem man dies tun soll?

- - - - - - - - - -

Deine Matrix passt nicht.

Warum bekommst du mit deiner Vorgehensweise nicht die darstellende Matrix von

f

?
Die Antwort ist recht einfach: Du hast

f

kein einziges Mal beim Berechnen deiner Matrix verwendet, oder?

Die von dir berechnete Matrix ist die darstellende Matrix der Abbildung

i d

mit

i d (v) = v

für alle

v \in V

.
Das du diese Matrix überhaupt erhalten konntest liegt daran, dass

V

ein Untervektorraum von

W

ist. Wäre

V

nämlich keine Unterraum von

W,

so könntest du Vektoren aus

V

gar nicht bezüglich einer Basis von

W

entwickeln.

Du musst nämlich nicht die (Basis-)Vektoren

v \in V

bezüglich der Basis

B_{w}

entwickeln, sondern die (Basis-)Vektoren

v

zuerst auf

f (v)

abbilden und dann die Vektoren

f (v)

bezüglich der Basis

B_{w}

entwickeln.

Denn:
Wenn ich nun einen Vektor

v \in V

auf

f

auswerte, also einen Vektor

f (v) \in W

erhalte, so muss die darstellende Matrix

{[f]}_{B_{w}}^{B_{v}}

multipliziert mit

{[v]}_{B_{v}}

(also

v

dargestellt zur Basis

B_{v})

auch

{[f (v)]}_{B_{w}}

(also

f (v)

dargestellt zur Basis

B_{w})

liefern.

Wenn man nun Beispielsweise die erste Spalte der Matrix ausrechnen möchte steckt man den ersten Basisvektor

v_{1}

der Basis

B_{v}

von

V

in die lineare Abbildung

f

und entwickelt den Bildvektor

f (v_{1})

bezüglich der Basis

B_{w}

von W.

f (v_{1}) = (\begin{matrix} 1 + (- 2) - 1 \\ 1 + 2 \cdot (- 2) + 3 \cdot 1 \\ - 2 - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) = - 3 \cdot w_{1} - 1 \cdot w_{2} + 1 \cdot w_{3}

Dabei habe ich abkürzend die folgenden Bezeichnungen für die Basisvektoren verwendet:

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

w_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), w_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), w_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Also steht in der ersten Spalte der darstellenden Matrix

(\begin{matrix} - 3 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}),

falls ich mich nicht verrechnet habe.
Analog erhält man die zweite Spalte.

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität kann man neben den eigentlichen Definitionen auch auf verschiedene Arten überprüfen.
Hier würde sich die folgende Vorgehensweise anbieten, da man bereits eine darstellende Matrix kennt:

Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Rang einer darstellende Matrix (und damit aller) gleich der Spaltenanzahl ist.

Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Rang einer darstellende Matrix (und damit aller) gleich der Zeilenanzahl ist.

Eine Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Komisch aktiv_icon

00:02 Uhr, 15.07.2013

Hatte ganz vergessen mich zu bedanken!

Vielen Dank habs verstanden und kann es nun anwenden.

1105794

1105014

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?