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d/dx * x^n = nx^n-1 ist Differenzenquotient

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentialquotient, Differenzieren, Funktion

dreamerkid aktiv_icon

23:04 Uhr, 13.01.2009

Hab nochma ne Aufgabe bei der ich Hilfe bräuchte :)

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$Z$

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

marlon aktiv_icon

23:24 Uhr, 13.01.2009

Differenzenquotient

$f' (x) = \frac{f (x) - f (x + h)}{h} = \frac{x^{n} - {(x + h)}^{n}}{h}$
für $lim h \to 0$

Der Trick ist dir zu überlegen, was rauskommen würde, wenn man ${(x + h)}^{n}$ ausmultiplizert. Wenn ich das mache, stehen sehr viele Terme da. Im ersten steht nur $x^{n},$ im zweiten steht $h \cdot n \cdot x^{n - 1},$ die weiteren Terme werden komplizierter (Binomialkoeffizienten!) enthalten aber alle mind. ein $h^{2}$ . Ich habe die restlichen Terme als $h^{2} \cdot t$ abgekürzt:

$\frac{x^{n} - (x^{n} + h \cdot n \cdot x^{n - 1} + h^{2} \cdot t)}{h}$

$x^{n}$ subtrahiert sich weg. Und wenn du jetzt jeden Term durch den Nenner teilst, bleibt $n \cdot x^{n - 1}$ ohne $h$ stehen. Bei den restlichen Termen steht mindestens noch ein $h$ dabei. Beim Grenzübergang $h \to 0$ fallen diese aber alle weg. Ich hoffe das hilft dir weiter.

dreamerkid aktiv_icon

17:50 Uhr, 14.01.2009

puhh , könnte man das auch noch einfacher formulieren :) ???

marlon aktiv_icon

18:07 Uhr, 14.01.2009

Ok, anderer Vorschlag: vollständige Induktion.
Habt ihr die schonmal angesprochen?

dreamerkid aktiv_icon

18:07 Uhr, 14.01.2009

japp

marlon aktiv_icon

18:20 Uhr, 14.01.2009

(Bemerkung "-->" steht für "Ableiten")

zZ: $x^{n} \to n \cdot x^{n - 1}$

Anfang/Verankerung: $(n = 1)$

$x^{1} = x \to 1 = 1 \cdot x^{0}$ (stimmt also für $n = 1)$ .

Annahme: gilt für $n,$ also
$x^{n} \to n \cdot x^{n - 1}$ gilt.

Induktionsschritt: für $n + 1 :$
zZ:
$x^{n + 1} \to (n + 1) \cdot x^{n}$

Rechnung:
$x^{n + 1} = x^{n} \cdot x$
$x^{n} \cdot x$ muss man mit der Produktregel ableiten:
$\to n \cdot x^{n - 1} \cdot x + 1 \cdot x^{n}$ hierbei wurde die Annahme genutzt.

Zusammenfassen:
$n \cdot x^{n - 1} \cdot x + 1 \cdot x^{n}$
$= n \cdot x^{n} + 1 \cdot x^{n}$
$= x^{n} \cdot (n + 1)$ was zu beweisen war.

dreamerkid aktiv_icon

18:31 Uhr, 14.01.2009

ahaaaa :D danke das is jetzt für $n \in n_{0}$ stimmts is das dann

bei dem zweiten genauso ?

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