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det(A)<0 dann gibt es mind. 2 reelle Eigenwerte

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Tags: Determinant, Eigenwert

sabsi

10:36 Uhr, 15.03.2023

Hi

Ich soll folgendes beweisen:

A sei eine reelle nxn Matrix mit geradem n. Zu zeigen: Wenn det(A)<0 dann hat A mindestens zwei verschiedene reelle EIgenwerte.

Mir fehlt hier etwas der Ansatz...

Ich weiß dass es keine ungerade Anzahl an reellen EW geben kann da die komplexen immer als Paare auftreten. Also es kann nur gar kein oder mindestens 2 reelle EW sein.

Aber das sagt mir nichts darüber aus dass es nicht 0 sein können und das sie unterschiedlich sein müssen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

11:38 Uhr, 15.03.2023

Hallo,

ich nehme an, die Lösung des Problems ist eher auf das char. Polynom ausgerichtet. Ist

A

die in Frage stehende Matrix und

χ_{A} (x) = \det (x E - A)

das char. Polynom, so gilt ja

χ_{A} (x) = x^{n} - tr(A) x^{n - 1} \pm \dots + (- 1)^{n} \det (A)

.
Im Falle

n

gerade haben wir damit

χ_{A} (0) = \det (A) < 0

nach Voraussetzung.
Zudem gilt wegen

n

gerade, dass

χ_{A} (x) \to \infty

für

x \to \pm \infty

(und das ist der Knackpunkt, der bei ungeradem

n

eben nicht so wäre).
Das aber heißt, dass

χ_{A}

von Null ausgehend (mindestens) einmal in Richtung

- \infty

und (mindestens) einmal in Richtung

\infty

die

x

-Achse überqueren muss.
Das kann zwar auch öfter sein, muss aber mindestens einmal je Richtung sein.
An diesem beiden Stellen (nennen wir diese Stellen mal

a < 0

und

b > 0

) gilt also

χ_{A} (a) = 0

und

χ_{A} (b) = 0

. Aufgrund des Vorzeichens gilt vor allem

a \neq b

.
Die Matrix hat also mindestens die beiden verschiedenen reellen Eigenwerte

a

und

b

.

Mfg Michael

Punov aktiv_icon

12:36 Uhr, 15.03.2023

Hallo, sabsi!

Alternativ kannst du auch verwenden, daß

det (A) = \prod_{k = 1}^{n} λ_{k}

,

wobei

λ_{1}, \dots, λ_{n}

die Eigenwerte von

A

sind (mögliche algebraische Vielfachheiten berücksichtigt).

Jetzt kannst du dich, wenn du möchtest, durch Widerspruchsbeweise schrittweise der Behauptung nähern, daß es mindestens zwei verschiedene reelle Eigenwerte gibt:

1. Angenommen, es gibt nur komplexe Eigenwerte, also

λ_{i} \in ℂ

für alle

i = 1, 2, \dots, n

. Was folgt dann für das Vorzeichen der Determinante?
Demnach...

2. Nun angenommen, es gibt genau einen reellen Eigenwert

λ_{i} \in ℝ

für

i \in {1, 2, \dots, n}

und die restlichen Eigenwerte

λ_{k} \in ℂ, k \in {1, 2, \dots, n}, k \neq i

, sind komplex.
Da

n \in ℕ

gerade ist, folgt...

Viele Grüße

HAL9000

16:16 Uhr, 15.03.2023

Zur Argumentation im Beitrag von michaL kann man noch den Begriff "Zwischenwertsatz" ergänzen. Und es ergibt sich, dass man das "mindestens zwei verschiedene reelle Eigenwerte" präzisieren kann durch "mindestens ein negativer und mindestens ein positiver". ;-)

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