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det(A) = det(A^T) - ist der Beweis richtig?

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Beweisführung, Determinanten, Matrix

asg-2014 aktiv_icon

00:31 Uhr, 10.12.2014

Hallo zusammen,

kann mir bitte jemand sagen, ob meine Beweisführung für die folgenden Aufgaben richtig ist?

Aufgabe:
Beweisen oder widerlegen Sie:
============================================
a) Ist

A \in ℝ^{2 \times 2}

oder

A \in ℝ^{3 \times 3}

so gilt:

d e t (A) = d e t (A^{T})

.
============================================
Meine Lösung:

-----------------------------------------
I.

A \in ℝ^{2 \times 2}

-----------------------------------------
Voraussetzung:

A \in ℝ^{2 \times 2}

Behauptung:

d e t (A) = d e t (A^{T})

Beweis:

A := (\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array})

dann ist

A^{T} := (\begin{array}{rcl} a & c \\ b & d \end{array})

d e t (A) = a \cdot d - c \cdot b = d e t (A^{T}) = a \cdot d - b \cdot c

Kommutativität der Multiplikation

\Leftrightarrow

d e t (A) = a \cdot d - b \cdot c = d e t (A^{T}) = a \cdot d - b \cdot c

□

-----------------------------------------
II.

A \in ℝ^{3 \times 3}

-----------------------------------------
Voraussetzung:

A \in ℝ^{3 \times 3}

Behauptung:

d e t (A) = d e t (A^{T})

Beweis:

A := (\begin{array}{rcl} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array})

dann ist

A^{T} := (\begin{array}{rcl} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{array})

d e t (A) = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h - g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b

d e t (A^{T}) = a \cdot e \cdot i + d \cdot h \cdot c + g \cdot b \cdot f - c \cdot e \cdot g - h \cdot f \cdot a - i \cdot b \cdot d

Kommutativität der Multiplikation

\Leftrightarrow

d e t (A^{T}) = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h - g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b

\Rightarrow d e t (A) = d e t (A^{T})

□

============================================
b) Ist

A \in ℝ^{2 \times 2}

und orthogonal, so gilt:

d e t (A) = \pm 1

.
============================================
Meine Lösung:

Voraussetzung:

A \in ℝ^{2 \times 2}

und

A \cdot A^{T} = I_{2} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

Behauptung:

d e t (A) = \pm 1

.

Beweis:

d e t (A) = a \cdot d - c \cdot b

d e t (A^{T}) = a \cdot d - b \cdot c

d e t (I_{2}) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1

d e t (A) \cdot d e t (A^{T}) = d e t (A \cdot A^{T}) = d e t (I_{2})

\Rightarrow (a \cdot d - c \cdot b) \cdot (a \cdot d - b \cdot c) = 1

\Leftrightarrow (a \cdot d - b \cdot c)^{2} = 1 ∣ \sqrt{}

a \cdot d - b \cdot c = 1

a \cdot d - b \cdot c = d e t (A) \Rightarrow d e t (A) = \pm 1

□

Sind meine drei Beweise korrekt und vollständig?

Vielen Dank für jede Hilfe

Liebe Grüße

Asg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

DrBoogie aktiv_icon

07:09 Uhr, 10.12.2014

Korrekt und vollständig, aber b) folgt schneller aus a), Du musst in b) die Determinanten nicht mehr komplett "ausschreiben".

asg-2014 aktiv_icon

14:15 Uhr, 10.12.2014

Hallo,

Dankeschön für die Bestätigung und den Hinweis.

zu b) :

Stimmt, ich habe ja in a) gezeigt, dass

d e t (A) = d e t (A^{T})

und dass kann ich ja wiederverwenden:

Voraussetzung und Behauptung wie gehabt.

Beweis:

d e t (I_{2}) = 1 \cdot 1 \cdot 0 \cdot 0 = 1

d e t (A) \cdot d e t (A^{T}) = d e t (A \cdot A^{T}) = d e t (I_{2}) = 1

d e t (A) = d e t (A^{T})

(s. Beweis a) )

\Rightarrow d e t (A)^{2} = 1 ∣ \sqrt{}

d e t (A) = \pm 1 □

Nun müsste es stimmen, oder?

Viele Grüße

Asg

DrBoogie aktiv_icon

15:29 Uhr, 10.12.2014

"Nun müsste es stimmen, oder?"

Ja, jetzt ist OK.

asg-2014 aktiv_icon

15:49 Uhr, 10.12.2014

Hallo,

alles klar, vielen DANK!

Liebe Grüße

Asg

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