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diagonalisierbar/ trigonalisierbar
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 11:14 Uhr, 26.05.2006  |
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hey ich bin bei dieser aufgabe völlig aufgeschmissen und fände es daher total klasse, wenn ihr ihr helfen könntet. Die Aufgabe besteht darin folgendes zu beweisen: Ist A eine reelle 2x2- oder 3x3- Matrix, die über R (reelle Zahlen) nicht trigonalisierbar ist, so ist A über C (komplexe Zahlen) diagonalisierbar. Warum stimmt dies nicht für 4x4- Matrizen? Ich wäre also echt dankbar, wenn ihr helfen könntet, MFG Alex |
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anonymous 20:20 Uhr, 06.06.2006 |
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eine sehr komische aufgabe fest steht, dass das charakteristische Polynom dieser matrizen über R nicht in linearfaktoren zerfällt. daraus folgt die nicht trigonalisierbarkeit. ok über C zerfällt ja jedes char. polynom einer matrix in linearfaktoren. dazu muss noch gelten, dass für alle eigenwerte die algebraische und geometrische vielfachheiten übereinstimmen. dieses müsste man dann damit verbinden, dass die matrizen über R nicht trigonalisierbar sind |
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anonymous 02:19 Uhr, 08.06.2006 |
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Hallo, wenn die Matrix über R nicht trigonalisierbar ist, dann zerfällt ihr char. Polynom über R nicht in Linearfaktoren. Es handelt sich also im Fall 2x2 um ein über R irreduzibles quadratisches Polynom und im Fall 3x3 um das Produkt eines solchen mit einem Linearfaktor. Die Nullstellen in C eines über R irreduziblen quadratischen Polynoms sind aber komplex konjugiert zueinander. In beiden Fällen hat das char. Polynom also zwei echt komplexe zueinander konjugierte Nullstellen; bei 3x3 kommt noch eine reelle dazu. Damit hat das char. Polynom über C paarweise verschiedene Nullstellen, und das ist hinreichend für die Diagonalisierbarkeit. (Nicht-Diagonalisierbarkeit kann nur auftreten, wenn das char. Polynom mehrfache Nullstellen hat, weil nur dann die algebraische Vielfachheit größer als die geometrische sein kann, denn der Eigenraum zu jedem Eigenwert hat ja mindestens Dimension 1) Bei 4x4-Matrizen klappt diese Argumentation aber nicht mehr: Jetzt kann das char. Polynom auch das Quadrat eines über R irreduziblen quadratischen Polynoms sein. Dann gibt es zwei komplex konjugierte doppelte Nullstellen. Die Matrix muß in diesem Fall natürlich nicht mehr diagonalisierbar sein, weil der Eigenraum zu einem oder beiden dieser Eigenwerte auch eindimensional sein kann. Gruß, Uli |
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