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die Summe aller Teiler
Universität / Fachhochschule
Teilbarkeit
Tags: Teilbarkeit
 
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Hallo ihr Lieben, ich habe eine Aufgabe zur Teilbarkeit in der ich einfach nicht weiter komme... Zeigen Sie: Ist eine ungerade natürliche Zahl und keine Quadratzahl, so ist die Summe aller Teiler von gerade. Mein Ansatz ist bisher: mit und teilt teilt teilt dann ist . Jetzt weiß ich 1. nicht ob der Ansatz richtig ist und 2. wie ich es dann beweisen soll... Meiner Meinung nach wahrscheinlich mit vollständiger Induktion, aber ich weiß einfach nicht weiter :-D) Vlt hat jemand ja einen guten Tipp für mich? Liebe Grüße Lilli |
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Der Ansatz ist falsch. Schon und ist falsch, denn gemeint ist, dass kein Quadrat von irgendeiner Zahl ist und nicht nur von sich selber. Richtig wäre: existiert mit und für jede . Der Beweis geht so. Sei ein Teiler von . Dann ist , denn ist keine Quadratzahl. Aber ist natürlich auch ein Teiler von . Damit kann man alle Teiler von in Paare anordnen: zu einem Paar gehören dann und . Damit hat gerade Anzahl von Teilern, die allesamt ungerade sind. Und eine gerade Summe von ungeraden Summanden ist gerade. |
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Oke danke! diesen Ansatz verstehe ich! aber trotzdem ist es mir unklar wie ich das dann jetzt beweisen kann... für mich ist das schon nachvollziehbar wie du das meinst, aber ich glaube das reicht der Dozentin nicht aus |
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Eigentlich habe ich das schon bewiesen. Du kannst auch formaler vorgehen: sei die Menge der Teiler von . Wenn , so liegt auch in , außerdem . Damit kann man als Vereinigung aus Paaren darstellen. Damit hat gerade Anzahl von Elementen, sagen wir . Jede Zahl aus ist ungerade, da ungerade ist. Damit lässt sich jede Zahl aus als schreiben, geht von bis . Damit ist die Summe von allen Elementen aus gleich , was gerade ist. PS. Blöde Dozentin. :-) |
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