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die h-Methode

Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Analysis

anonymous

21:59 Uhr, 02.03.2006

Berechne die Tangentensteigung im Punkt P nach der h-Methode

a) f(x)= 3x³; P(2/y)

b) f(x) = (x-1)³ ; P (3/y)

wer kann mir dabei helfen, ich brauche wenn möglich schnelle hilfe.

danke

anonymous

23:49 Uhr, 02.03.2006

Hallo,
also bei der h Methode mußt du einfach den Differenzenquotienten nutzen:

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Tust du dies bei der 1. Funktion, erhälst du folgenden Ausdruck

\frac{3 * {(2 + h)}^{3}) - 24}{h} = \frac{(24 + 36 h + {18 h}^{2} + {3 h}^{3}) - 24}{h} = 36 + 18 h + {3 h}^{2}

Nun nutzt du den Differenztialquotienten:

\lim_{h \to 0} (36 + 18 h + {3 h}^{2}) = 36

Bei der zweiten Aufgabe das gleiche Spiel:

\frac{{(3 + h - 1)}^{3} - 8}{h} = \frac{(8 + 12 h + {6 h}^{2} + h^{3}) - 8}{h} \Rightarrow \lim_{h \to 0} (12 + 6 h + h^{2}) = 12

So ich hoffe du kannst das jetzt Nachvollziehen und selber anwenden???

MFG
Frank

Kosekans aktiv_icon

00:21 Uhr, 03.03.2006

Hallo.

Vom Prinzip her stimmt die Rechnung. Die h-Methode funktioniert aber so, dass man sich der beliebig aus Df gewählten, aber festen Stelle x0 von beiden Seiten nähert und die beiden Grenzwerte der Sekantensteigungen untersucht.

Lange Rede kurzer Sinn:

Schreibe anstatt x, x0 in der Rechnung und berechne (f(x0 + h) - f(x0))/h und (f(x0 - h) - f(x0))/h, dann passts.

Gruss, Kosekans

anonymous

22:54 Uhr, 03.03.2006

Naja, anstatt zwei Rechnungen zu machen kann man das h auch einmal > 0 annehmen und dann gegen 0 gehen lassen und danach < 0 annehmen und gegen 0 gehen lassen. (Genau genommen kann man das h auch als Glied irgendeiner beliebigen Nullfolge annehmen...) Warum soll man sich das Leben denn komplizierter machen, als es ist, und gleich zweimal rechnen, wenn sich dabei nichts wesentlich ändert? Ich verstehe den Einwand nicht wirklich, zumindest sehe ich nur, dass man da unnötig mehr rechnet...

Wenn man sich mal darauf einigt, dass das x als fest angenommen werden soll, dann braucht man auch nicht x0 zu schreiben, allerdings ist es da der Übersicht halber vielleicht doch sinnvoller, x0 zu schreiben, weil man dann im Hinterkopf hat, dass das fest ist!

Gruß,

Weißnix

Kosekans aktiv_icon

21:35 Uhr, 04.03.2006

Hallo.

Natürlich ändert sich bei der obigen Funktion nichts, wenn man über eine Stelle x0 hinweg geht. Interessant wirds, wenn man zusammengesetzte Funktionen auf Differenzierbarkeit prüft, so zum Beispiel bei

f(x) = abs(x) mit x0 = 0

oder

g(x) = -2x -2 für x < -1

.....= x^2 für -1 <= x <= 1

.....= 2x -2 für x > 1 mit x01 = -1 und x02 = 1

In allen anderen Punkten aus Df und Dg ist die Differenzierbarkeit dieser Funktionen selbstverständlich (also ich meine logisch sofort erkennbar, nachdem mans einmal gezeigt hat).

"Naja, anstatt zwei Rechnungen zu machen kann man das h auch einmal > 0 annehmen und dann gegen 0 gehen lassen und danach < 0 annehmen und gegen 0 gehen lassen."

Bitte klärt mich auf wenn ich mich irre, aber ich dachte bis jetzt immer h wäre definiert als der Differenzbetrag abs(x - x0), daher kann man h doch nicht als kleiner 0 annhemen, oder?

"Warum soll man sich das Leben denn komplizierter machen, als es ist, und gleich zweimal rechnen, wenn sich dabei nichts wesentlich ändert? Ich verstehe den Einwand nicht wirklich, zumindest sehe ich nur, dass man da unnötig mehr rechnet..."

Der Grund liegt (meines Wissens nach, wieder mit der Bitte um Aufklärung wenns falsch ist) darin, dass die Berechnung der Ableitung mit Hilfe der h-Methode der Beweis der Differenzierbarkeit der Funktion an sich ist.

Wenn man jetzt also sagt f(x) ist differenzierbar in x0, wenn dort der Grenzwert der Sekantensteigung mit der Tagengentensteigung übereinstimmt, dann kann sich die Sekante eben von 2 verschiedenen Seiten an die Tangente annähren, die man bei der Beweisführung beide betrachten muss.

Bei obigem Beispiel g(x), das ja auf ganz R stetig und differenzierbar ist, kann es vorkommen, zum Beispiel beim CNC-gesteuerten Ausfräsen einer solchen Figur aus einer Metallplatte, dass man sich auch für die Abweichung vom Grenzwert in einer Umgebung von x0 interessieren muss. Diese ist linksseitig (- 2(x0 - h) - 2 - (- 2x0 - 2))/(-h) = -2 und entspricht dem Grenzwert auch in einer linksseitigen Umgebung von x0 ohne Abweichung.

Rechtsseitig ist sie ((x + h)^2 - x^2)/h = 2x + h, also mit einer Abweichung behaftet, der je nach Toleranzvorgabe bei der Fertigung beachtet werden muss.

Gruss, Kosekans

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