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diffbarkeit, grenzwert, mehrdimensional

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

pi=3=e aktiv_icon

17:15 Uhr, 28.03.2019

hi :-)

sieht jemand, was mit dem im Anhang zu findenden Grenzwert passier, falls

h = (h_{1}, h_{2})

gegen

(0,0)

strebt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ermanus aktiv_icon

17:23 Uhr, 28.03.2019

Hallo,
betrachte doch mal speziell

h = (h_{1}, h_{1})

.
Gruß ermanus

pi=3=e aktiv_icon

17:36 Uhr, 28.03.2019

dann gibt es

\frac{1}{6}

?

Ich habe hier glaube ich ein fundamentales Verständnisproblem... Ich darf mich der 0 unterschiedlich schnell annähern? (damit meine ich zb mit

h 1

schneller als mit

h 2 ...)

? Kann ich so nicht jeden beliebigen wert erreichen?

...

. Irgendwie leuchtet mir das noch nicht so ein...

ermanus aktiv_icon

17:44 Uhr, 28.03.2019

Wie kommst du denn auf

1 / 6

pi=3=e aktiv_icon

18:00 Uhr, 28.03.2019

sehr gut möglich, dass ich etwas falsch mache, darum mein Rechenweg im Anhang....

ermanus aktiv_icon

18:18 Uhr, 28.03.2019

Aber da kommt doch

\infty

raus!
Wie du auf

1 / 6

kommst, ist mir schleierhaft ;-)

pi=3=e aktiv_icon

18:26 Uhr, 28.03.2019

hm, beim letzten Schritt klammer ich dann oben und unten

h_{1}^{8}

aus...

das gibt mir

\frac{1}{2 + 4 + 2 h^{2}} ...

. stimmt das?
und jetzt mit

h_{1}

gegen

0 . .

. dann fällt dieser letzte summand im nenner weg...

\frac{1}{6}

:-) (wo liegt der denkfehler?)
Dnake

ermanus aktiv_icon

18:57 Uhr, 28.03.2019

SORRY!
ich habe da Unsinn gerechnet. Es kommt 0 heraus.
Berichtigung folgt in ca. 1/2 Stunde.

pi=3=e aktiv_icon

19:02 Uhr, 28.03.2019

bin gespannt! :-)

HAL9000

19:02 Uhr, 28.03.2019

Und als nächste Annäherungskurve probiere mal

h = (h_{2}^{2}, h_{2})

mit

h_{2} \to 0

. :-)

pwmeyer aktiv_icon

19:07 Uhr, 28.03.2019

Hallo,

wie ich das sehe, habt Ihr Euch beide Verrechnet / vertan. Es geht um

\frac{h_{1} \cdot h_{2}^{3}}{(h_{1}^{2} + h_{2}^{4}) \cdot \sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}}

Setzt man hier

h_{1} = h_{2} = s

mit positivem

s,

\frac{s^{4}}{(s^{2} + s^{4}) \cdot \sqrt{2} \cdot s} = \frac{s}{(1 + s^{2}) \cdot \sqrt{2}} \to 0

Anders sieht es aus mit

h_{1} = s^{2}

und

h_{2} = s :

\frac{s^{5}}{(s^{4} + s^{4}) \cdot \sqrt{2} \cdot s} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

19:07 Uhr, 28.03.2019

Hallo,

wie ich das sehe, habt Ihr Euch beide Verrechnet / vertan. Es geht um

\frac{h_{1} \cdot h_{2}^{3}}{(h_{1}^{2} + h_{2}^{4}) \cdot \sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}}

Setzt man hier

h_{1} = h_{2} = s

mit positivem

s,

\frac{s^{4}}{(s^{2} + s^{4}) \cdot \sqrt{2} \cdot s} = \frac{s}{(1 + s^{2}) \cdot \sqrt{2}} \to 0

Anders sieht es aus mit

h_{1} = s^{2}

und

h_{2} = s :

\frac{s^{5}}{(s^{4} + s^{4}) \cdot \sqrt{2} \cdot s} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

19:08 Uhr, 28.03.2019

Sehe gerade, dass mein Beitrag inzwischen überflüssig geworden ist

pi=3=e aktiv_icon

19:16 Uhr, 28.03.2019

Danke!

Nun verstehe ich aber etwas immer noch nicht:

Ich schlage mich mit diesem Limes herum, weil ich zeigen will, dass die funktion nicht differenzierbar in einem spezifischen punkt ist.......
(von der Aufgabe her weiss ich, dass die funktion dort nicht diffbar ist...)

Wenn ich das aber nun nicht wüsste, wie ziegt man dann überhaupt, dass eine funktion (mehrerer variabeln) diffbar in einem punkt ist? Man zeigt doch, dass der fehler der linearen approximation schneller als linear nach 0 geht... Aber dann müsste man ja alle unendlich vielen möglichkeiten prüfen, die man hat, um nach 0 zu gehen?????
wenn die fu nicht diffbar ist, reicht es, einen weg zu zeigen, bei dem der limes ungleich

0 ...

. (das verstehe ich glaube ich)

Kann mir jemand helfen? Bin wirklich verzweifelt

: (

HAL9000

19:20 Uhr, 28.03.2019

> wenn die fu nicht diffbar ist, reicht es, einen weg zu zeigen

Richtig, ein "Gegenbeispielweg" reicht dann. Wenn sie aber doch differenzierbar ist, dann musst du für ALLE möglichen Wege eine geeignete Abschätzung finden. Das geht natürlich nicht dadurch, dass man immer nur spezielle Wege diskutiert, da muss man schon "umfassender" vorgehen. Das diskutieren wir, wenn es soweit ist, du also ein entsprechendes Beispiel hier nennst.

pi=3=e aktiv_icon

19:26 Uhr, 28.03.2019

diese aufgabe ist von einem übungsblatt.... ich habe es einfach so gelöst, dass ich gezeigt habe, dass die partiellen ableitungen stetig sind.... aber gerne würde ich zeigen, dass der fehler der linearen approximation schneller als linear verschwindet... (egal auf welchem weg man nach 0 geht....)

pi=3=e aktiv_icon

19:29 Uhr, 28.03.2019

achso... kann es sein, dass es bei diesem beispiel gar keine rolle spiel, wie genau man nach 0 geht?

siehe mein 2. lösungsansatz

HAL9000

19:32 Uhr, 28.03.2019

Genauso ist es: Da die Sinusfunktion betragsmäßig nach oben durch 1 beschränkt ist, kann man so schön abschätzen.

pi=3=e aktiv_icon

19:37 Uhr, 28.03.2019

Vielen dank! nun ist es mir schon viel klarer! suche mir noch einige beispiele heraus um mir das noch einige male anzuschauen...

Darf ich noch etwas fragen?
Wenn ich die diffbarkeit zeigen will in

(0,0),

indem ich zeige, dass die partiellen ableitungen stetig sind in

(0,0) ...

.

kann ich dann in der partiellen ableitung nach

x

das

y

(da ja konstant und ich den punkt

(0,0)

betrachte) eifach

= 0

setzen? Und mit dem

x

nach 0 gehen? (da gibt es dann ja nicht mehrere möglichkeiten....)

pi=3=e aktiv_icon

19:43 Uhr, 28.03.2019

oder muss ich da wieder mit

x

UND

y

gegen 0 gehen....... (aber das

y

war doch konstant...? bin wirklich verwirrt haha)

HAL9000

15:58 Uhr, 29.03.2019

Ich verstehe nicht ganz deine Frage:

Du berechnest einfach

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y)

für alle

(x, y)

: Für

(x, y) \neq (0, 0)

auf "gewöhnliche" Weise, und für

(x, y) = (0, 0)

wie gehabt durch

\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{f (h, 0) - f (0, 0)}{h}

,

also tatsächlich nur entlang dieser einen "Geraden". Aber es reicht eben nicht, dass dieses

\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0)

als Grenzwert existiert, du musst auch noch die Stetigkeit der Gesamtfunktion

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y)

an dieser Stelle

(0, 0)

überprüfen - das eben beinhaltet ja der Terminus "stetige partielle Ableitung".

Aber bedenke: Es gilt

stetige partielle Differenzierbarkeit

\Rightarrow

totale Differenzierbarkeit

\Rightarrow

partielle Differenzierbarkeit

aber keine der beiden Implikationen ist umkehrbar (d.h. es lassen sich jeweils Gegenbeispiele finden). Eine Schlussweise "die partiellen Ableitungen der Funktion sind an der Stelle nicht stetig, daher ist die Funktion dort nicht total differenzierbar" ist somit falsch.

pi=3=e aktiv_icon

16:22 Uhr, 30.03.2019

DANKE!

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