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differenzialgleichung 1.ordnung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

rud77 aktiv_icon

23:06 Uhr, 27.09.2023

Differentialgleichung 1.ordnung:

y´=+/-

\sqrt{| y |}

Wie kann ich das lösen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:01 Uhr, 28.09.2023

Diese DGL ist ein schönes Beispiel dafür, dass ein AWP auch unendlich viele Lösungen haben kann. ;-)

calc007

12:05 Uhr, 28.09.2023

Tipp:
Fallunterscheidung
Um die Betragsrelation los zu werden unterscheidest du einfach zwischen den Fällen

y > 0

y < 0

Falls du der Übersicht halber noch weiter unterscheiden willst, kannst du auch vier Fälle unterscheiden:

a) y > 0

und

y' = + \sqrt{| y |}

b) y > 0

und

y' = - \sqrt{| y |}

c) y < 0

und

y' = + \sqrt{| y |}

d) y < 0

und

y' = - \sqrt{| y |}

Aber wahrscheinlich merkst du rasch, dass diese Feinunterteilung eigentlich rasch wiederholend obsolet übervorsichtig wirkt.

michaL aktiv_icon

12:05 Uhr, 28.09.2023

Hallo,

ja, kann man.

Umgeformt erhält man

\pm \frac{y ʹ}{\sqrt{∣ y ∣}} = 1

.

Die Betragsstriche unter der Wurzel sind technisch notwendig (sonst könnte man die Wurzel nicht ziehen). Trotzdem stören sie bei der weiteren Berechnung. (Wird weiter unten wieder aufgegriffen!)
Wir gehen also über zu:

\pm \frac{d y}{\sqrt{y}} = d x

bzw.

\pm \int \frac{d y}{\sqrt{y}} = \int d x

Beides sind lösbare Integrale. Auflösen nach

y

müsste hinterher noch erledigt werden!
Integrationskonstante nicht vergessen!
Schauen, dass

y \geq 0

stets gilt!

Mfg Michael

HAL9000

16:47 Uhr, 28.09.2023

Zunächst mal verstehe ich die Angabe so, dass es sich um zwei VERSCHIEDENE DGL handelt, einmal um

y ´ = \sqrt{∣ y ∣}

und dann um die andere

y ´ = - \sqrt{∣ y ∣}

. Also nicht etwa "gemischt" für ein- und dasselbe

y

. :(

Bleiben wir bei ersterer: Dann schaue man sich mal die abschnittsweise definierte Funktion

y (x) = - \frac{{(x - c_{1})}^{2}}{4}

für

x \leq c_{1}

y (x) = 0

für

c_{1} \leq x \leq c_{2}

y (x) = \frac{{(x - c_{2})}^{2}}{4}

für

x \geq c_{2}

an, mit den beiden reellen Parametern

c_{1} \leq c_{2}

. Im Grund genommen kann man auch noch

c_{1} = - \infty

betrachten (dann fällt der erste Fall weg) oder auch

c_{2} = \infty

(dann fällt der dritte Fall weg), auch beides zusammen ist möglich mit dann der Nullfunktion

y (x) = 0

.

Alle diese Funktionen lösen die erste DGL, d.h., etwa für das AWP mit

y (x_{0}) = 0

passen diese Funktionen, sofern die Parameter der Bedingung

c_{1} \leq x_{0} \leq c_{2}

genügen. Also unendlich viele Lösungsfunktionen dieses AWP.

Ist nicht weiter verwunderlich, da hier keine globale Lipschitz-Bedingung (wie sie im globalen Picard-Lindelöf gefordert wird) gilt.

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