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direkte Summe für U1,...,Un Beweis

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

harold aktiv_icon

18:41 Uhr, 23.11.2009

guten abend:-)

bei folgendem aufgabenteil bräuchte ich ein wenig hilfe, denkanstösse oder ähnliches.

- - - - - - - - - - - - - -

Sei

V

ein Vektorraum über dem Körper K. Sei

n

ℕ

und seien U1,...,Un endliche-dimensionale Teilräume von V.

(ii) Nun habe auch

V

endliche Dimension.

V

heißt direkt Summe von U1,...,Un genau dann wenn jedes

v

V

sich in eindeutiger Weise schreiben lässt in der Form v=u1+...+un mit ui el Ui

(i = 1, ..., n)

.

Zeigen Sie:

V =

U1+...+Un (das

+

soll ein

+

mit einem kreis drum sein, welches die schreibweise für die direkte summe symbolisieren soll, finde ich hier aber nicht, ähnlich wie

⊙) \Leftrightarrow

V =

U1+...+Un (hier ein normales

+)

und

\forall v

mit

2 \leq v \leq n

gilt (U1+...+Uv-1)

\cap

= {0}

- - - - - - - - - - - - - -

Ok also wir haben die direkte Summe bereits in der Vorlesung definiert. Allerdings beschränkte sich dies auf 2 Teilmengen. Hier ist ja der Unterschied dass wir

n

Unterräume haben.

Bedingung für die direkt Summe sind ja gerade eben

V = U + W

und

U \cap W = {0},

was wir hier eben für n-Teilmengen zeigen sollen.

mfg

hagman aktiv_icon

19:12 Uhr, 23.11.2009

Vorab:

U o + V

wird hier zu

U \oplus V

Richtung "

\Rightarrow

":
Angenommen

V = U_{1} \oplus U_{2} \oplus ... \oplus U_{n}

.

Ist dann

v \in V,

so gibt es eine eindeutige Darstellung

v = u_{1} + ... + u_{n}, u_{i} \in U_{i}

.
Insbesondere ist also

v \in U_{1} + ... + U_{n},

also

V \subseteq U_{1} + ... + U_{n}

.
Da trivialerweise

U_{1} + ... + U_{n} \subseteq V,

folgt

V = U_{1} + ... + U_{n}

.

Sei

ν

eine Zahl mit

2 \leq ν \leq n

und

v \in (U_{1} + ... + U_{ν - 1}) \cap U_{ν}

.
Dann

v = u_{1} + ... + u_{ν - 1}

für geeignete

u_{i} \in U_{i}, i = 1, ..., ν - 1

.
Wählt man für

i = ν, ..., n

jeweils

u_{i} = 0,

ergibt sich also eine Darstellung

v = u_{1} + . .

+ u_{n}

mit

u_{i} \in U_{i}

.
Andererseits ist

v \in U_{ν},

also ist auch

v = u_{1}' + . .

+ u_{n}'

mit

u_{ν}' = v

und

u_{i}' = 0

sonst eine solche Darstellung.
Weegen der Definition von "direkte Summe" ist die Darstellung von

v

jedoch eindeutig,
insbesondere

0 = u_{ν} = u_{ν}' = v

.
Also ist

(U_{1} + ... + U_{ν - 1}) \cap U_{ν} = {0}

Rückrichtung:
Sei

V = U_{1} + ... + U_{n}

und für alle

ν

mit

2 \leq ν \leq n

sei

(U_{1} + ... + U_{ν - 1}) \cap U_{ν} = {0}

.
Wegen

V = U_{1} + ... + U_{n}

hat jedes

v \in V

eine Darstellung der geforderten Art,

d . h

v = u_{1} + ... + u_{n}, u_{i} \in U_{i}

.
Angenommen es gibt mit

v = u_{1}' + ... + u_{n}', u_{i}' \in U_{i}

eine hiervon verschiedene solche Darstellung.
Dann ist

w_{1} + ... + w_{n}

mit

w_{i} := u_{i} - u_{i}' \in U_{i}

eine Darstellung der 0.
Hierbei ist mindestens ein

w_{i} \neq 0

.
Sei

ν

das maximale

i

mit

w_{i} \neq 0

. Dann ist

w_{1} + ... + w_{ν} = 0

mit

w_{ν} \neq 0

.
Insbesondere kann nicht

ν = 1

gelten

(ν = 1 \Rightarrow w_{1} = 0,

aber

w_{ν} \neq 0)

.
Es ist also

2 \leq ν \leq n

.
Es ist

- w_{ν} = w_{1} + ... + w_{ν - 1} \in U_{1} + ... + U_{ν - 1}

und natürlich auch

w_{ν} i

nU_\nu.
Laut Voraussetzung ist dann

w_{ν} = 0

im Widerspruch zu

w_{ν} \neq 0

.
Also ist die Annahme, es gäbe eine weitere Darstellung von

v,

unhaltbar.
Somit ist

V = U_{1} \oplus . .

\oplus U_{n} . □

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