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direkte Summe, lineare Abbildung

Universität / Fachhochschule

Tags: Direkte Summe, Linear Abbildung

Tamara72 aktiv_icon

12:04 Uhr, 08.05.2023

Sei

I

eine Indexmenge und für jedes

i \in I

sei

V_{i}

ein

K

-Vektorraum.

Für jedes

i \in I

definieren wir

α_{i} : V_{i} \to ⨁_{j \in I} V_{j}, v \mapsto {(v_{j})}_{j \in I} w o b e i

v_{j} = {\begin{array}{ll} v & i = j \\ 0 & i \neq j . \end{array}

(a) Zeigen Sie, dass

α_{i}

linear ist.

(b) Zeigen Sie, dass die direkte Summe

⨁_{i \in I} V_{i}

die folgende universelle Eigenschaft hat: Sei \( W \) ein \( K \)-Vektorraum, und für jedes

i \in I

sei

f_{i} : V_{i} \to W

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

f : ⨁_{i \in I} V_{i} \to V_{i}

sodass für jedes

i \in I

gilt:

f_{i} = f \circ α_{i}

Ansatz zu a), zu zeigen

1.

α_{i} (v + w) = α_{i} (v) + α_{i} (w)

α_{i} (λ v) = λ α_{i} (v)

wobei

v, w \in V_{i}

und

λ \in K

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

15:56 Uhr, 08.05.2023

Hallo,

dein Ansatz ist korrekt. Aber warum "rechnest" du ihn nicht zuende?

Ist dir klar, wie

α_{i} (v)

konkret aussieht?

Wäre

I

eine endliche Indexmenge (braucht sie natürlich nicht zu sein), dann könnte man die Elemente der direkten Summe richtiggehend als Vektor schreiben:

(v_{i})_{i \in I endlich} = (v_{i_{1}}, \dots, v_{i_{n}})^{T}

.

Ist

I

wenigstens abzählbar, kann man sich mit einem unendlich langem Vektor in der Vorstellung behelfen.
Die eigentliche Arbeit bei diesem Aufgabenteil ist eben, diese Vorstellungskrücken wegzuwerfen und Gehversuche ohne zu machen.

Bleiben wir in der Vorstellung einer endlichen Indexmenge

I = {i_{1}, \dots, i_{n}}

(s.o.), so wäre

α_{i_{k}} (v + w) = (0, \dots, 0, v_{i_{k}} + w_{i_{k}}, 0 \dots, 0)^{T}

.

Nun klar, wie man an a) herangehen muss?

Da b) eine Existenzaussage beinhält, wäre der einfachste Beweis herzuzeigen.
Wie wäre

f

sinnvoll zu wählen, damit die Gleichung

f_{i} = f \circ α_{i}

erfüllt werden kann.

Genauer: Wie ist

f (v)

für

v \in ⨁_{i \in I} V_{i}

zu definieren, damit

f_{i} (v_{i}) = f \circ α_{i} (v_{i})

sinnvoll ist? (Über die Argumente müsste nochmal sauber nachgedacht werden, genauso wie darüber, ob die

f_{i}

nicht Abbildungen nach

W

zu sein haben.)

Hilfreich sind in dem Zusammenhang sicher die Projektionsabbildungen

π_{i} : ⨁_{i \in I} V_{i} \ T o V_{i}

, für die

π_{i} \circ α_{i} = {Id}_{V_{i}}

gilt, d.h. für alle

v_{i} \in V_{i}

eben

π_{i} (α_{i} (v_{i})) = v_{i}

.

Mfg Michael

Mfg Michael

Tamara72 aktiv_icon

17:34 Uhr, 08.05.2023

>> "dein Ansatz ist korrekt. Aber warum "rechnest" du ihn nicht zuende?"
weil ich nicht wusste, wie

α_{i} (v)

konkret aussieht.

Danke schonmal für die Erklärung. Ich setze mich an die Arbeit.

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