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direkte Summe von Untervektorräumen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Direkte Summe, Induktion, Körper, Untervektorräume

vick19 aktiv_icon

17:33 Uhr, 16.11.2010

hi, meine Frage ist:
Es sei

K

ein Körper,

V

ein endlich erzeugter K-Vektorraum und

n \geq 1

eine natürliche Zahl. Zeigen sie per Induktion nach

n :

Für jede Familie von Untervektorräumen U1,...,Un von

V

gilt:

\sum dim (U_{i}) = dim (\sum U_{i}) + \sum dim ((\sum U_{j}) \cap U (i + 1)

.
dabei läufen die ersten beien Summen von

i = 1

bis

n,

die 3. läuft von

i = 1

bis

n - 1

und die letzte von

j = 1

bis

i

. An den

U

stehen immer die

i,

bzw, die

j

oder

i + 1

als Index.

ich kann den Induktionsanfang. weil je die 3. summe für

n = 1

leer ist, also das direkt gleich ist. ich kann aber den Induktionsschritt nicht, ich hab schon so lange versucht, aber ich komm da nicht drauf, es wäre nett, wenn mir da jemand den gesamten schritt antworten könnte.

dann soll ich aus dem bewiesenen folgern, dass

V

genau den die direkte Summe der Untervektorräume U1,...,Un ist, wenn

V =

U1+...+Un gilt und (U1+...+Un)

\cap

Ui+1

= 0

ist,

\forall i \in {1, ... n - 1}

.
mir ist noch nicht ganz klar was ne direkte Summe ist, warum müssen die Summen aller UVR ungleich einem anderen sein?
ich hoffe ihr könnt mir helfen,
lg Viktoria

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

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