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dirichlet Faltung einfach erklärt

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

Bertha123 aktiv_icon

01:42 Uhr, 03.07.2018

hallo,

könnte mir jemand die dirichletfaltung einfach erklären?

ermanus aktiv_icon

15:08 Uhr, 03.07.2018

Hallo Bertha123,
du hättest mich nach meinem Beitrag zur Möbius-Funktion
ruhig genauer befragen können statt einfach nur das Häkchen zu
setzen. Eine gewisse Resonanz wäre bei solch einem Aufwand durchaus erfreulich.
Mein dortiger Beitrag war eher für Studentinnen des 3. Semesters
gedacht. Nun weiß ich aber mittlerweile, dass du eine Mathematik-begeisterte
Schülerin bist :-)

Daher versuche ich dir die Dirichlet-Faltung mit Beispielen nahezubringen:

Zunächst zur allgemeneinen Definition:
sind

f

und

g

zahlentheoretische Funktionen, also solche, in die
man natürliche Zahlen

> 0

einsetzt, und die ihre Werte in den reellen oder
komplexen Zahlen haben (oder in den ganzen Zahlen ...).
Von diesen ist es sinnvoll

f (1) = g (1) = 1

vorauszusetzen.
Die Dirichlet-Faltung (Dirichlet-Produkt)

f * g

ist definiert durch

(f * g) (n) := \sum_{d ∣ n} f (d) g (n / d) (1)

.

Nehmen wir als Beispiel

n = 12

12

hat folgende Teiler:

1, 2, 3, 4, 6, 12

.
Damit ergibt sich für

(1)

(f * g) (12) =

= f (1) g (12 / 1) + f (2) g (12 / 2) + f (3) g (12 / 3) + f (4) g (12 / 4) + f (6) g (12 / 6) + f (12) g (12 / 12) =

= f (1) g (12) + f (2) g (6) + f (3) g (4) + f (4) g (3) + f (6) g (2) + f (12) g (1)

.

Nun betrachten wir als Beispiel drei spezielle zahlentheoretische Funktionen,
nämlich

φ, μ, N

φ

ist die Eulersche

φ

-Funktion, also

φ (n) =

Anzahl der Zahlen
in

{1, 2, \dots, n}

, die zu

n

teilerfremd sind.

μ

ist die Möbiusfunktion mit ihrer "etwas speziellen" Definition.

N

ist die Funktion, die jede natürliche Zahl auf sich selbst abbildet:

N (n) = n

.

Nach Möbius gilt dann:

φ = μ * N

.

Wir wollen dies am Beispiel

n = 12

bestätigen:

Man hat

φ (12) = # {1, 5, 7, 11} = 4

.

Nun die rechte Seite

(μ * N) (12)

μ (1) N (12 / 1) + μ (2) N (12 / 2) + μ (3) N (12 / 3) + μ (4) N (12 / 4) + μ (6) N (12 / 6) + μ (12) N (12 / 12) =

= μ (1) \cdot 12 + μ (2) \cdot 6 + μ (3) \cdot 4 + μ (4) \cdot 3 + μ (6) \cdot 2 + μ (12) \cdot 1 =

= 1 \cdot 12 + (- 1) \cdot 6 + (- 1) \cdot 4 + 0 \cdot 3 + (- 1) (- 1) \cdot 2 + 0 \cdot 1

.

Bei

μ (6)

habe ich die Multiplizität (für teilerfremde Faktoren) von

μ

benutzt:

μ (6) = μ (2 \cdot 3) = μ (2) μ (3) = (- 1) (- 1)

.

Villeicht nutzt dir das was ;-)

Gruß ermanus

Bertha123 aktiv_icon

23:52 Uhr, 03.07.2018

super nett ,danke für deine ausführliche Antwort

habe alles verstanden :-)

Bertha123 aktiv_icon

00:40 Uhr, 04.07.2018

noch eine Kurze Frage : was bedeutet die

(1)

. ? entsteht sie durch deine Voraussetzung?
wie würde es für

(2)

gelten

Bertha123 aktiv_icon

00:40 Uhr, 04.07.2018

noch eine Kurze Frage : was bedeutet die

(1)

. ? entsteht sie durch deine Voraussetzung?
wie würde es für

(2)

gelten

ermanus aktiv_icon

13:23 Uhr, 04.07.2018

Hallo Bertha123,

die

(1)

ist einfach eine Numerierung, also gemeint ist:
"Dies ist Formel 1". In Mathematikbüchern und Abhandlungen wirst du das häufiger finden,
dass man die Formeln so kennzeichnet; denn dann kann man auf einfache
Weise auf sie Bezug nehmen.
Das mache ich auch zwei Zeilen nach der Formel

(1)

, indem ich schreibe
"Damit ergibt sich für

(1)

:".
Hätte ich der Formel nicht den "Namen"

(1)

gegeben, so hätte ich so etwas wie
"Damit ergibt sich für die vorstehende Formel:"
schreiben müssen.

Gruß ermanus

Bertha123 aktiv_icon

00:32 Uhr, 05.07.2018

Achso :-D) Danke!

Bertha123 aktiv_icon

01:42 Uhr, 05.07.2018

Könntest du mir vielleicht auch noch erklären:

Bijektion chinesischer Restsatz

(\frac{Z}{m} 1

·...·mnZ)∗ ←→ (Z/m1Z)∗ ×...×(Z/mnZ)∗ .

warum dies für den chinesischen Restsatz gilt .Also vor allem an dem "warum" bin ich interessiert :-)

wäre Mega nett

finde alle Themenbereiche echt interessant und du kannst echt gut erklären

ermanus aktiv_icon

15:19 Uhr, 13.07.2018

Hallo Bertha123,
über den chinesischen Restsatz findest du im Internet tausende
Erklärungen und Beispiele. Der Aufwand, diese Wissensquelle noch zu erweitern,
ist mir echt zu aufwändig :( Ich hoffe, dass du dafür Verständnis hast.

Doch bei Zugrundelegen dieses Satzes wolltest du

(Z / m_{1} \dots m_{n} Z)^{*} ≅ (Z / m_{1} Z)^{*} \times \dots \times (Z / m_{n} Z)^{*}

einsehen,
d.h. warum die Einheiten (invertierbaren Elemente) des linken Ringes
gerade den

n

-Tupeln des rechten Produkts entsprechen, die in
jeder Komponente Einheiten des jeweiligen "Ringfaktors" sind.

Nun, dahinter steckt eine ganz allgemeine Tatsache:

seien

S, T

kommutative Ringe, dann gilt

(S \times T)^{*} = S^{*} \times T^{*}

.
Das Einselement von

S \times T

ist das Paar

(1, 1)

,
Multiplikation geschieht komponentenweise.

Sei nun

(s, t) \in (S \times T)^{*}

, dann gibt es

(\tilde{s}, \tilde{t}) \in S \times T

mit

(1, 1) = (s, t) (\tilde{s}, \tilde{t}) = (s \tilde{s}, t \tilde{t})

,
also gilt

s \tilde{s} = 1

S

und

t \tilde{t} = 1

T

.
Folglich sind

s

und

t

in ihren Ringen invertierbar,
also

s \in S^{*}

und

t \in T^{*}

, also

(s, t) \in S^{*} \times T^{*}

,
folglich

(S \times T)^{*} \subseteq S^{*} \times T^{*}

.
Die umgekehrte Inklusion geht entsprechend ...

Vielleicht hierzu noch ein Beispiel?

Z / 36 Z ≅ Z / 4 Z \times Z / 9 Z

.

Man hat

(Z / 36 Z)^{*} = {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31}

,

Dem entsprechen auf der rechten Seite in gleicher Reihenfolge

{(1, 1), (1, 5), (3, 7), (3, 2), (1, 4), (1, 8), (3, 1), (3, 5), (1, 7), (1, 2), (3, 4)} =

= {1, 3} \times {1, 2, 4, 5, 7, 8} = (Z / 4 Z)^{*} \times (Z / 9 Z)^{*} .

Gruß ermanus

Bertha123 aktiv_icon

21:31 Uhr, 14.07.2018

Danke :-)

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