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diskrete Metrik

Universität / Fachhochschule

Tags: diskrete Metrik, Skizze einer Menge, Umgebung

Nick2344 aktiv_icon

07:42 Uhr, 15.04.2018

Hallo,
es geht um das skizzieren der diskreten Metrik, genauer um folgendes:

B (0,1) = {x \in R^{2} : d (x,0) < 1}

Also es geht um die offene "Kugel" mit Radius

< 1

. Die diskrete Metrik ist 1 für

y \neq x

. Heißt das der Graph im

R^{2}

wäre

y = 1

ohne den Punkte(1,1),

d . h B (0,1)

ist leer?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

08:15 Uhr, 15.04.2018

Hallo,
Wegen

d (0, 0) = 0 < 1

ist

B (0, 1) = {0}

.
Was du mit dem Graphen bezeichnest, verstehe ich nicht.
Der Graph der Abbildung

d

liegt ja im

ℝ^{3}

.
Das meinst du aber vermutlich gar nicht, sondern eher eine Skizze
von

B (0, 1)

, oder?
Gruß ermanus

Nick2344 aktiv_icon

08:29 Uhr, 15.04.2018

Ja das meine ich :-)
Aber wenn gelten würde

\leq 1

. Wäre es dann die Gerade

y = 1

ohne diesen Punkt?
Wie könnte man folgendes

z . b

skizzieren:

d (x, y) = \frac{| x_{1} - y_{1} |}{1 + | x_{1} - y_{1} |} + \frac{| x_{2} - y_{2} |}{1 + | x_{2} - y_{2} |}

Auch wieder

B (0,1)

ermanus aktiv_icon

08:36 Uhr, 15.04.2018

Du meinst die Menge

M = {x \in ℝ^{2} : d (x, 0) \leq 1}

?
Da

d (x, 0) = 0 \lor d (x, 0) = 1

für alle

x \in ℝ^{2}

ist,
gilt

M = ℝ^{2}

.
"Kugeln" bestehen also entweder nur aus ihrem "Mittelpunkt" oder
sind der ganze Raum.

Nick2344 aktiv_icon

08:43 Uhr, 15.04.2018

Warum der ganze

R^{2}

?
Ich hätte gedacht für

y \neq x

ist der Abstand 1?
Wo ist denn der Denkfehler, auch das mit meiner Geraden bei

y = 1,

was ha völlig falsch ist?

ermanus aktiv_icon

09:05 Uhr, 15.04.2018

Für alle

y \neq 0

gilt

d (0, y) = 1 \leq 1

, also

y \in M

ermanus aktiv_icon

09:08 Uhr, 15.04.2018

Ah, jetzt ahne ich, wo dein Verständnisproblem ist:
Mit

x, y

sind die Punkte

x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2})

gemeint.
Deswegen steht da ja auch

x \in ℝ^{2}

und nicht

x \in ℝ

Nick2344 aktiv_icon

09:19 Uhr, 15.04.2018

Es geht um Punkte aus dem

R^{2}

die einen von

(0,0)

einen Abstand von 1 haben. Wie kommt da der ganze

R^{2}

raus?

ermanus aktiv_icon

09:23 Uhr, 15.04.2018

So ist

d

doch definiert (!), dass

d (x, y) = 1

ist, wenn

x \neq y

ist:
verschiedene Punkte haben also immer den "Abstand" 1.

Nick2344 aktiv_icon

09:43 Uhr, 15.04.2018

Aber es geht doch um den Abstand von 0. Wie kann da ein Punkt dazugehören, der Koordianten größer 1 hat?

ermanus aktiv_icon

09:44 Uhr, 15.04.2018

Was verstehst du denn unter Abstand?

Nick2344 aktiv_icon

09:54 Uhr, 15.04.2018

Wsl den euklidischen Abstand. Aber der Abstand hier ist ja ganz anders definiert. Es geht ja nur um

x \neq

y

.Jetzt habe ichs verstanden. Tut mir leid. Danke dir :-)
Wie könnte ich die andere Menge skizzieren?

ermanus aktiv_icon

10:09 Uhr, 15.04.2018

Bei der zweiten Metrik gilt

d (x, 0) = \frac{∣ x_{1} ∣}{1 + ∣ x_{1} ∣} + \frac{∣ x_{2} ∣}{1 + ∣ x_{2} ∣}

.
Mit einer kleinen Rechnung bekommst du

d (x, 0) < 1 \overset{}{\Leftrightarrow} ∣ x_{1} ∣ \cdot ∣ x_{2} ∣ < 1

Damit müsstest du deine
Skizze für

B (0, 1)

hinbekommen.

Nick2344 aktiv_icon

10:33 Uhr, 15.04.2018

Da würde ich dann einfach noch Fallunterscheidungen machen,

z . b x_{1} > 0

und

x_{2} < 0

dann würde sich die Menge im 1. Quadranten wie

x_{2} = \frac{1}{- x_{1}}

verhalten, also würde oberhalb dieser Funktion liegen usw. Geht das so?

ermanus aktiv_icon

10:36 Uhr, 15.04.2018

Du meinst sicher den 4.Quadranten ?

Nick2344 aktiv_icon

10:39 Uhr, 15.04.2018

Ja natürlich. Oh man. Ich bin einfach so unkonzentriert.
Aber es gibt keine Begrenzungen nach oben oder unten im 4. ?

ermanus aktiv_icon

10:42 Uhr, 15.04.2018

Im Endeffekt bekommst du die Menge aller Punkte zwischen
den 4 Hyperbelästen von

x_{2} = \pm \frac{1}{x_{1}}

außer den Hyperbelästen selbst,
die den Rand bilden.

Der 4.Quadrant ist ja von Hause aus nach oben durch die

x_{1}

-Achse begrenzt ...

Nick2344 aktiv_icon

10:50 Uhr, 15.04.2018

Tausend Dank:-)
Jetzt ist alles klar. Schönen Sonntag dir noch :-)

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