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diskrete Zufallsvariable Äquivalenz azb. Folge

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

ray11 aktiv_icon

15:29 Uhr, 31.03.2020

Hi, vielleicht kann mir jemand bei folgendem Beweis helfen.

Es seien

(Ω, F)

ein messbarer Raum und

X : Ω \to ℝ

eine Abbildung mit

X (Ω) = {x_{1}, x_{2}, ...}

für

{x_{n}}_{n \in N} \in ℝ^{ℕ}, d . h

. das Bild von

X

ist höchstens abzählbar.
Zeigen Sie:

X

Zufallsvariable

\Leftrightarrow \forall n \in ℕ : X^{- 1} ({x_{n}}) \in F

Man spricht in diesem Fall von einer diskreten Zufallsvariablen.

\Rightarrow :

Habe ich folgendermaßen probiert:

X

\Leftrightarrow \forall a < b : {a < x < b} = X^{- 1} ((a, b)) \in F

\Leftrightarrow \forall n \in ℕ : \forall k \in ℕ : X^{- 1} ((x_{n} - \frac{1}{k}, x_{n} + \frac{1}{k})) \in F

\Leftrightarrow \forall n \in ℕ : ⋂_{k = 1}^{\infty} X^{- 1} ((x_{n} - \frac{1}{k}, x_{n} + \frac{1}{k})) \in F

\Leftrightarrow \forall n \in ℕ : X^{- 1} (⋂_{k = 1}^{\infty} (x_{n} - \frac{1}{k}, x_{n} + \frac{1}{k})) \in F

\Leftrightarrow \forall n \in ℕ : X^{- 1} ({x_{n}}) \in F

Wobei ich mir bei der vorletzten auf die letzte Zeile nicht sicher bin warum das eigentlich so ist, falls es denn überhaupt richtig ist.

Die Rückrichtung ("<=") habe ich leider nicht. Wie könnte man das angehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Punov aktiv_icon

15:55 Uhr, 31.03.2020

Hallo,

mag sein, dass ich da was übersehe: Was genau ist dein Zielraum (mit welcher

σ

-Algebra)? Offenbar spielt da Messbarkeit eine Rolle. Dafür muss aber klar sein, zwischen welchen Räumen abgebildet wird, was zumindest ich da nicht rauslesen kann.

MfG

ray11 aktiv_icon

18:29 Uhr, 31.03.2020

Achso, also wenn bei uns eine Abbildung

X : Ω \to ℝ

gegeben ist, bedeutet das dass

(Ω, F) \to (ℝ, B (ℝ))

. Wobei die

σ

-Algebra

F

nicht konkret angegeben ist und

B (ℝ)

die Borel

σ

-Algebra auf

ℝ

ist.
Ich hoffe das beantwortet deine Frage.

Punov aktiv_icon

23:14 Uhr, 31.03.2020

Hi,

bist du dir wirklich sicher, dass hier der Zielraum

(ℝ, ℬ (ℝ))

gemeint ist? Das passt nicht so wirklich zu diskreten Zufallsvariablen.

X

kann die höchstens abzählbar vielen Werte

x_{i} \in ℝ (i \in ℕ)

annehmen. Dann ist doch aber der Raum

(M, P (M))

mit

M := {x_{i} : i \in ℕ}

und der Potenzmenge

P (M)

viel naheliegender, oder?

Für die Meßbarkeit bzgl.

(M, P (M))

würde die Aufgabe m.E. auch viel mehr Sinn ergeben, denn sie besteht dann darin zu zeigen, dass Messbarkeit bzgl. der Potenzmenge bereits dann vorliegt, wenn schon die Urbilder der Einzelelemente ("Atome") von

M

F

liegen (was natürlich in der Praxis viel bequemer zu überprüfen ist als zu zeigen, dass dies für alle Teilmengen von

M

gilt).

Viele Grüße

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