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diskrete Zufallvariable, Erwartungswert

Universität / Fachhochschule

11:58 Uhr, 24.08.2012

Ich habe eine kleine Frage:
Wenn ich eine Verkettung der Zufallsvariablen X habe, wie berechne ich dann den Erwartungswert?
Also angenommen

φ : ℝ \to ℝ

ist eine messbare Funktion und X ist ein diskrete Zufallsvariable, d.h. sie nimmt endlich oder abzählbar unendlich viele Werte an. Wieso gilt dann

E (φ (X)) = \sum_{z \in X (Ω)} φ (z) P (X = z)

?
Mein Ansatz wäre der folgende:

E (φ (X)) = \int φ (X) d P = \int φ \circ X d P = \int φ (x) d P X^{- 1}

, was heisst das jetzt aber, wenn X diskret ist? Müsste ich jetzt nicht

φ (x)

durch eine einfache Funktion approximieren, oder nicht? Aber ich weiss ja nicht, wie die Funktion aussieht...
Oder der andere Ansatz:

E (X) = \sum_{k} P (X = k) k

, falls X diskret ist, aber wie bringe ich jetzt die Verkettung rein, dann wäre:

E (φ (X)) = \sum_{k} P (φ (X) = k) k

, aber das macht ja noch weniger Sinn, da

φ (X)

ja nicht unbedingt ganze Zahlen annimmt, oder?

Wäre froh um Hilfe. Vielen Dank schon im Voraus.
LG Didgi

19:10 Uhr, 24.08.2012

Die Zufalls variable

φ \circ X

nimmt hövhstens abzählbar viel eWerte an, nämlich diejenigen

y \in ℝ,

für die es einen von

X

angenommenen Wert

x

gibt, so dass

y = φ (x)

ist.

E (φ (X)) = \sum_{y} y P (φ (X) = y} = \sum_{y} y P (X \in φ^{- 1} (y)} = \sum_{x} φ (x) \cdot P (X = x)

10:50 Uhr, 25.08.2012

Ach so, ja klar. Danke vilmals! :-)

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