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divergenz von reihe zeigen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

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16:42 Uhr, 08.02.2013

hallo

wie kommt man darauf, dass die reihe:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{3 n + {(- 1)}^{n} \cdot n}

divergiert

über das quotientenkriterium bekomme ich folgendes:

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = | \frac{{(- 1)}^{n + 2}}{3 (n + 1) + {(- 1)}^{n + 1} \cdot (n + 1)} \cdot \frac{3 n + {(- 1)}^{n} \cdot n}{{(- 1)}^{n + 1}} | =

| \frac{- 1}{(n + 1) \cdot (3 + {(- 1)}^{n + 1})} \cdot \frac{n (3 + {(- 1)}^{n})}{1} | = | \frac{n (3 + {(- 1)}^{n})}{(n + 1) (3 + {(- 1)}^{n + 1})} |

und jetzt bin ich mir nicht mehr sicher wie weiter. man sieht ja, dass der ausdruck von der form

| \frac{n \cdot a}{(n + 1) \cdot b} |

ist wobei a und

b

für jedes

n

postivit sind und entweder die werte

a = 2, b = 4

oder

a = 4, b = 2

haben also:

entweder:

\frac{4 n}{2 (n + 1)} = \frac{2 n}{n + 1} > 1 \forall n > 1

oder

\frac{2 n}{4 (n + 1)} = \frac{n}{2 (n + 1)} < 1 \forall n \in ℕ

aber wie ich befürchte kann man so keine aussage über die konvergenz der reihe machen. denn offensichtlich divergiert die gerade "teilreihe" für

n

gerade und die ungerade konvergiert. oder könnte man argumentieren, dass es sich im prinzip um die summe einer konvergenten und einer dievergenten reihe handelt, die wiederum dievergieren muss, weil die konvergenten summanden machen die divergierenden nur noch grösser also divergiert die gesamte reihe erst recht? oder wie würde man so etwas zeigen, hab echt keine ahnung. :-P)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HenriLeon aktiv_icon

11:42 Uhr, 09.02.2013

Offensichtlich divergiert die gerade Teilreihe. Fertig

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13:46 Uhr, 09.02.2013

in dem fall kann man also so argumentieren. danke für deine hilfe :-P)

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