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diverse Erwartungswerte berechnen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

Fabienne- aktiv_icon

11:34 Uhr, 31.01.2016

Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Es seien

X_{1}, . . ., X_{n}

unabhängige Zufallsvariablen mit

E [X_{i}] = 0

E [X_{i}^{2}] = σ^{2}

und

E [X_{i}^{4}] = v

für

i = 1, . . ., n

Dabei seien

σ^{2}

und

v

bekannte Parameter.
Sei

S = X_{1} + . . . + X_{n}

. Bestimmen Sie

E [S]

E [S^{2}]

und

E [S^{4}]

.

Grundsätzlich ist die Aufgabe nicht schwer.

E [S] = E [X_{1} + . . . + X_{n}] = E [X_{1}] + . . . + E [X_{n}] = 0

ist unmittelbar klar, wenn man die linearität des Erwartungswertes ausnutzt.

Genau so schnell erhält man

E [S^{2}] = E [(X_{1} + . . . + X_{n})^{2}] = n σ^{2}

.

Denn jedes

X_{i}

kommt wenn man den Term ausmultipliziert genau einmal vor.
Der "Rest" ist von der Form

X_{k} X_{j}

(und irgendein Vorfaktor) mit

k \neq j

.
Man kann dies aufgrund der linearität wieder trennen und wegen

E [X_{k} X_{j}] = E [X_{k}] E [X_{j}] = 0

fallen diese Teile ohnehin raus.

Hier wüsste ich bestenfalls nicht, wie ich es besser aufschreiben könnte.

Kniffliger wird es für

E [S^{4}]

es ist klar, dass man als Summanden

n v

erhält. Und das Ergebnis:

E [S^{4}] = n v + c σ^{4}

lauten muss. Jedoch weiß ich nicht, wie man sich effizient den Vorfaktor c überlegen kann.

Ähnlich wie für

E [S^{2}]

fallen alle Summanden später raus, die nicht von der Form

X_{i}^{4}

oder

X_{i} X_{j}^{2}

sind. Was man sich nun überlegen muss ist, wie viele Summanden der Form

X_{i} X_{j}^{2}

auftauchen. (

i \neq j

)

Wie kann man sich das am besten überlegen?

Über Tipps würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

14:49 Uhr, 31.01.2016

Hallo,

du suchst offenbar nach dem Multinomialkoeffizienten

^{[1]}

.

Mfg Michael

Weblinks:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Multinomialkoeffizient

Fabienne- aktiv_icon

15:03 Uhr, 31.01.2016

Und warum?

Ich weiß, dass das Ergebnis

3 n (n - 1)

sein muss. Wie man mit dem Multinomialkoeffizienten darauf kommt, sehe ich gerade nicht.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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